题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)判断函数H(x)=f(x)-g(x)零点的个数,并说明理由;
(2)设数列{an}满足:a1∈(0,1),且f(an)=g(an+1),n∈N*;
①求证:0<an<1;
②比较an与(e-1)an+1的大小.
答案
∴H′(x)=ex-(e-1),
令H′(x)=0,则x0=ln(e-1)
当x∈(-∞,x0)时,H′(x)<0,H(x)在(-∞,x0)单调递减
当x∈(x0,+∞)时,H′(x)>0,H(x)在(x0,+∞)单调递增
故H(x)min=H(x0)=ex0-(e-1)x0-1=e-1-(e-1)ln(e-1)-1
令t=e-1>1,函数h(t)=t-tlnt-1,
因为h′(t)=-lnt<0,所以函数h(t)=t-tlnt-1在(1,+∞)单调递减,故h(t)≤h(1)=0,
又e-1>1,故H(x0)<0,从而H(x)有两个零点;
(2)①证明:因为f(an)=g(an+1),即ean+1=(e-1)an+1+2,所以an+1=
1 |
e-1 |
下面用数学归纳法证明an∈(0,1)
1°当n=1时,a1∈(0,1)成立;
2°假设当n=k时,ak∈(0,1),则ak+1=
1 |
e-1 |
∵ak∈(0,1),∴1<eak<e,∴0<<e-1
∴0<ak+1<1
综上知,an∈(0,1);
②∵(e-1)an+1-an=ean-1-an,
考虑函数p(x)=ex-1-x(0<x<1)
∵p′(x)=ex-1>0,
∴p(x)在(0,1)上是增函数
故p(x)>p(0)=0
∴(e-1)an+1-an>0
∴(e-1)an+1>an.
核心考点
试题【设函数f(x)=ex+1,g(x)=(e-1)x+2(e是自然对数的底数).(1)判断函数H(x)=f(x)-g(x)零点的个数,并说明理由;(2)设数列{an】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
(Ⅰ)求函数y=f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数y=f(x)有三个不同的零点,求实数a的取值范围.
|
A.
| B.
| C.
| D.
|
a |
2 |
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,(x1<x2),求证:1<x1<a<x2<a2.
(1)f(x)-4=0与f"(x)=0有一个相同的实根;
(2)f(x)=0与f"(x)=0有一个相同的实根;
(3)f(x)+3=0的任一实根大于f(x)-1=0的任一实根;
(4)f(x)+5=0的任一实根小于f(x)-2=0的任一实根.其中所有正确命题是______.
a |
x |
|
(Ⅰ) 当a=b=1时,求H(x);
(Ⅱ) 当a=1时,在x∈[2,+∞)上H(x)=f(g(x)),求b的取值范围;
(Ⅲ) 当a>0时,方程f(g(x))+c=0,在(0,+∞)上有且只有一个实根,求证:b、c中至少有一个负数.
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