题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知曲线C₁：ρcos（θ+

π

4

）=

2

2

；曲线C₂：ρ²=

3

2-cos2θ

．
（1）试判断曲线C₁与C₂的交点个数；
（2）若过点M（1，0）直线l与曲线C₂交于两个不同的点A，B，求

|MA|•|MB|

|AB|

的取值范围．

答案

（1）由ρcos（θ+

π

4

）=

2

2

，得

2

2

ρ（cosθ-sinθ）=

2

2

，
所以x-y=1，
由ρ²=

3

2-cos2θ

，得ρ²（3-2cos²θ）=3，
所以3（x²+y²）-2x²=3，即x²+3y²=3，
由

x-y=1 x2+3y2=3

得2x²-3x=0，解得x=0或x=

3

2

，
所以曲线C₁与C₂的交点有两个；
（2）①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x2+3y2=3

得（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0，
△=36k⁴-4（1+3k²）（3k²-3）＞0，即2k²+1＞0恒成立，
则x1+x2=

6k2

1+3k2

，x1x2=

3k2-3

1+3k2

，
|MA|=

1+k2

|x1-1|，|MB|=

1+k2

|x2-1|，|AB|=

1+k2

|x1-x2|，

|MA|•|MB|

|AB|

=

(1+k2)|x1-1||x2-1|

1+k2 |x1-x2|

=

1+k2 |x1x2-(x1+x2)+1|

|x1-x2|

=

1+k2 | 3k2-3 1+3k2 - 6k2 1+3k2 +1|

( 6k2 1+3k2 )2- 4(3k2-3) 1+3k2

=

6

6

•

k2+1 k2+ 1 2

=

6

6

•

1+ 1 2k2+1

，
又k²≥0，所以

6

6

＜

|MA|•|MB|

|AB|

≤

6

6

•

2

=

3

3

；
②当直线l不存在斜率时，把x=1代入x²+3y²=3得y=±

6

3

，
此时

|MA|•|MB|

|AB|

=

( 6 3 )2

2 6 3

=

6

6

，
综合①②得

|MA|•|MB|

|AB|

的取值范围为[

6

6

，

3

3

]．