题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义在R上的函数f(x)=

1

3

x3-

3a+1

2

x2+2a(a+1)x，其中a≠1．
（Ⅰ）当a=2时，判断f（x）的单调性并求f（x）的极值点；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象与x轴恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）对f（x）求导得：f′（x）=x²-（3a+1）x+2a（a+1），
代入a=2有f′（x）=（x-3）（x-4）；
令f′（x）＞0得x∈（-∞，3）∪（4，+∞）；又令f′（x）＜0，得到：x∈（3，4），
于是：f（x）在（-∞，3），（4，+∞）上单调递增；f（x）在（3，4）上单调递减．
当x=3时，f（x）有极大值，当x=4时，f（x）有极小值，所以x=3是极大值点，x=4是极小值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=（x-2a）[x-（a+1）]，
（1）当a＜1时，有：2a＜a+1；令f′（x）＞0得：x∈（-∞，2a）∪（a+1，+∞）；
再令f′（x）＜0得：x∈（2a，a+1），故f（x）在（-∞，2a），（a+1，+∞）上单调递增，
在（2a，a+1）上单调递减；此时可知：f（2a）为f（x）的极大值，f（a+1）为f（x）的极小值；
欲使y=f（x）的图象与x轴恰有三个交点，则必有：

f(2a)＞0 f(a+1)＜0

，
即是：

2a3 3 +2a2＞0 (a+1)2(5a-1) 6 ＜0

，解得：a∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，

1

5

）．
（2）当a＞1时，有：2a＞a+1；令f′（x）＞0得：x∈（-∞，a+1）∪（2a，+∞）；
再令f′（x）＜0得：x∈（a+1，2a），故f（x）在（-∞，a+1），（2a，+∞）上单调递增，
在（a+1，2a）上单调递减；此时可知：f（a+1）为f（x）的极大值，f（2a）为f（x）的极小值；
欲使y=f（x）的图象与x轴恰有三个交点，则必有：

f(2a)＜0 f(a+1)＞0

，
即是：

2a3 3 +2a2＜0 (a+1)2(5a-1) 6 ＞0

⇒a∈∅，
   综上可知：a∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，

1

5

）．