题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=ax-3a+1，g（x）=

1

x-2

（x＞2）．
（1）若a=-1，解不等式f（x）＞

1

2

g（x）；
（2）判断函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数．

答案

（1）a=-1时，f（x）=-x+4，
由f（x）＞

1

2

g（x）（x＞2）
得-x+4＞

1

2

×

1

x-2

，
∴2x²-12x+17＜0（*）
∴3-

2

2

＜x＜3+

2

2

，
∵3-

2

2

＞2，∴解集为：{x|3-

2

2

＜x＜3+

2

2

}，
（2）由f（x）=g（x），得ax-3a+1=

1

x-2

，∴（ax-3a+1）（x-2）=1
即ax²+（1-5a）x+6a-3=0，（*）①
a=0时，x=3，两个图象公共点的个数是1，公共点（3，1）
②a≠0时，方程*即[ax-（2a-1）]（x-3）=0
∴（x-3）（x-

2a-1

a

）=0，
x₁=2，x₂=

2a-1

a

，
（i）若

2a-1

a

=3，即a=-1时，方程*有两个相等的实根3，
∴函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数为1，
（ii）若

2a-1

a

≠3，即a≠-1时，
∵x₂-2=

2a-1

a

-2=-

1

a

，
当a＞0时，x₂=

2a-1

a

＜2，
当a＜0时，x₂=

2a-1

a

＞2，
综上所述，a≥0或a=-1函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数为1，
a＜0或a≠-1函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数为2．