当前位置:高中试题 > 数学试题 > 函数的零点 > 已知函数f(x)=13ax3+ax2+4,g(x)=2(x+2)2,h(x)=f(x)+g(x).(Ⅰ)当a=1时,求f(x)与g(x)的公共单调区间;(Ⅱ)若...
题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
1
3
ax3+ax2+4
,g(x)=2(x+2)2,h(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)与g(x)的公共单调区间;
(Ⅱ)若函数h(x)有极值,求实数a的何值范围;
(Ⅲ)当a<0时,讨论函数h(x)的零点个数.
答案
(Ⅰ)当a=1时,f"(x)=x2+2x=x(x+2)…(1分)
由f"(x)>0得x<-2或x>0,由f"(x)<0得-2<x<0,
∴f(x)的单调递增区间是(-∞,-2),(0,+∞),递减区间是(-2,0),…(3分)
又g(x)的对称轴为x=-2且开口向上,
∴g(x)的单调递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2),…(4分)
∴a=1时,f(x)与g(x)的公共单调递增区间是(0,+∞),无公共递减区间…(5分)
(Ⅱ)h(x)=f(x)+g(x)=
1
3
ax3+(a+2)x2+8x+12

∴h"(x)=ax2+2(a+2)x+8=(ax+4)(x+2)…(6分)
①当a=0时,h"(x)=2x2+8x+12=2(x+2)2+4在(-2,+∞)递增,
在(-∞,-2)递减,则h(x)有极小值,符合题设…(7分)
②当a≠0时,令h"(x)=0得,x1=-2,x2=-
4
a

若函数h(x)有极值,h"(x)=0两个相异实根,∴-2≠-
4
a
,得 a≠2
综上(1)(2)得,若函数h(x)有极值,实数a的何值范围是:{a/a≠2,a∈R}…(9分)
(Ⅲ)∵a<0,由h"(x)=(ax+4)(x+2)=0得x=-2或x=-
4
a

-
4
a
>-2
将x,h"(x),h(x)的变化情况列表如下:
核心考点
试题【已知函数f(x)=13ax3+ax2+4,g(x)=2(x+2)2,h(x)=f(x)+g(x).(Ⅰ)当a=1时,求f(x)与g(x)的公共单调区间;(Ⅱ)若】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
题型:填空题难度:一般| 查看答案
题型:解答题难度:一般| 查看答案
题型:填空题难度:简单| 查看答案
题型:填空题难度:一般| 查看答案
题型:单选题难度:一般| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.
x(-∞,-2)-2(-2,-
4
a
-
4
a
-
4
a
,+∞)
h"(x)-0+0-
h ( x )极小值极大值
若直线y=x-b与曲线x=


1-y2
+2
有两个不同的公共点,则实数b的取值范围为______.
已知函数f(x)=e-x(2x-a),a∈R.
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)若关于实数x的方程f(x)=1在[
1
2
,2]上有两个不等实根,求a的取值范围.
设方程lgx+x=5的解为x0,若x0∈(k-
1
2
,k+
1
2
)
,k∈Z,则实数k=______.
关于x的方程


1-x2
=k(x-2)+1有两解则k的取值范围是______.
定义在R上的函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x),若方程f(x)=0有且只有三个不等实根,且0是其中之一,则方程的另外两个根必是(  )
A.-2,2B.-1,4C.1,-1D.2,4