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题目
题型:解答题难度:一般来源:泉州模拟
已知函数f(x)=
1
x
+clnx
的图象与x轴相切于点S(s,0).
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T(t,f(t)),且f(t)≠0,证明:1<t<e;(注:e是自然对数的底)
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记直线ST的倾斜角为α,试证明:
π
4
<α<
12
答案
(Ⅰ)由f(x)=
1
x
+clnx
,得f(x)=-
1
x2
+
c
x
.…(1分)
∵函数f(x)=
1
x
+clnx
的图象与x轴相切于点S(s,0),
f(s)=-
1
s2
+
c
s
=
cs-1
s2
=0
,…①且f(s)=
1
s
+clns=0
….②…(2分)
联立①②得c=e,s=
1
e
.…(3分)
f(x)=
1
x
+elnx
.…(4分)
(Ⅱ)证明:f(x)=-
1
x2
+
e
x

∵函数f(x)=
1
x
+clnx
的图象与直线l相切于点T(t,f(t)),直线l过坐标原点O,
∴直线l的方程为:y=(-
1
t2
+
e
t
)x

又∵T在直线l上,∴实数t必为方程
2
t
+elnt-e=0
….③的解.…(5分)
g(t)=
2
t
+elnt-e
,则g(t)=-
2
t2
+
e
t
=
et-2
t2

解g′(t)>0得t>
2
e
,g′(t)<0得0<t<
2
e

∴函数y=g(t)在(0,
2
e
]
递减,在(
2
e
,+∞)
递增.…(7分)
g(
1
e
)=0
,且函数y=g(t)在(0,
2
e
)
递减,
t=
1
e
是方程
2
t
+elnt-e=0
在区间(0,
2
e
]
内的唯一一个解,
又∵f(
1
e
)=0
,∴t=
1
e
不合题意,即t>
2
e
.…(8分)
∵g(1)=2-e<0,g(e)=
2
e
>0
,函数y=g(t)在(
2
e
,+∞)
递增,
∴必有1<t<e.…(9分)
(Ⅲ)证明:∵T(t,f(t)),S(
1
e
,0)

tanα=kST=
f(t)-0
t-s
=
1
t
+elnt
t-
1
e

由③得tanα=
1
t
+elnt
t-
1
e
=
e
t
,…(10分)
∵t>0,且0≤α<π,∴0<α<
π
2

∵1<t<e,∴1<tanα=
e
t
<e
,…(11分)
tan
π
4
=1
tan
12
=tan(
π
6
+
π
4
)=
tan
π
6
+tan
π
4
1-tan
π
6
tan
π
4
=2+


3
>e
,…(13分)
tan
π
4
<tanα<tan
12

∵y=tanx在(0,
π
2
)
单调递增,∴
π
4
<α<
12
.…(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=1x+clnx的图象与x轴相切于点S(s,0).(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若函数f(x)的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T(t,】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
若函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c>0)没有零点,则
a+c
b
的取值范围是(  )
A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(2,+∞)D.[2,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
二次方程x2+(a2+1)x+a-2=0,有一个根比1大,另一个根比-1小,则a的取值范围是(  )
A.-3<a<1B.-2<a<0C.-1<a<0D.0<a<2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos2x+


3
sinxcosx-
1
2
的图象经下列两个步骤变换得到:
(1)将函数g(x)的图象向右平移
π
12
个单位,并将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数h(x)的图象;
(2)将函数h(x)的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0<m<
1
2
)
倍(横坐标不变),并将图象向上平移1个单位,得到函数f(x)的图象.
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)判断方程f(x)=x的实根的个数,证明你的结论;
(Ⅲ)设数列{an}满足a1=0,an+1=f(an),试探究数列{an}的单调性,并加以证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+alnx的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率为10.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)判断方程f(x)=2x根的个数,证明你的结论;
(Ⅲ)探究:是否存在这样的点A(t,f(t)),使得曲线y=f(x)在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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