题目
题型:解答题难度:一般来源:福建模拟
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)判断方程f(x)=2x根的个数,证明你的结论;
(Ⅲ)探究:是否存在这样的点A(t,f(t)),使得曲线y=f(x)在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
答案
a |
x |
函数f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率k=f"(1)=2+a.
由2+a=10得:a=8. …(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x2+8lnx,令F(x)=f(x)-2x=x2-2x+8lnx.
因为F(1)=-1<0,F(2)=8ln2>0,所以F(x)=0在(0,+∞)至少有一个根.
又因为F′(x)=2x-2+
8 |
x |
16 |
所以函数F(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,即方程f(x)=2x有且只有一
个实根. …(7分)
(Ⅲ)证明如下:
由f(x)=x2+8lnx,f′(x)=2x+
8 |
x |
线方程为y-(t2+8lnt)=(2t+
8 |
t |
即y=(2t+
8 |
t |
记h(x)=x2+8lnx-[(2t+
8 |
t |
8 |
t |
则h′(x)=2x+
8 |
x |
8 |
t |
2(x-t)(x-
| ||
x |
(1)当t=
4 |
t |
2(x-2)2 |
x |
所以h(x)在(0,+∞)上递增.
又h(t)=0,所以当x∈(0,2)时h(x)<0,当x∈(2,+∞)时h(x)>0,
即存在点A(2,4+8ln2),使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线
在该点处切线的两侧. …(12分)
(2)当t>
4 |
t |
4 |
t |
4 |
t |
故h(x)在(
4 |
t |
又h(t)=0,所以当x∈(
4 |
t |
即曲线在点A(t,f(t))附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的
同侧. …(13分)
(3)当t<
4 |
t |
4 |
t |
4 |
t |
故h(x)在(0,t)上单调递增,在(t,
4 |
t |
又h(t)=0,所以当x∈(0,t)时,h(x)<0;当x∈(t,
4 |
t |
即曲线在点A(t,f(t))附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧.
综上,存在唯一点A(2,4+8ln2)使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧. …(14分)
解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一;
(Ⅲ)证明如下:
由f(x)=x2+8lnx,f′(x)=2x+
8 |
x |
线方程为y-(t2+8lnt)=(2t+
8 |
t |
即y=(2t+
8 |
t |
记h(x)=x2+8lnx-[(2t+
8 |
t |
8 |
t |
则h′(x)=2x+
8 |
x |
8 |
t |
2(x-t)(x-
| ||
x |
若存在这样的点A(t,f(t)),使得曲线y=f(x)在该点附近的左、右两部分都
位于曲线在该点处切线的两侧,则问题等价于t不是极值点,
由二次函数的性质知,当且仅当t=
4 |
t |
所以h(x)在(0,+∞)上递增.
又h(t)=0,所以当x∈(0,2)时,h(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h(x)>0,
即存在唯一点A(2,4+8ln2),使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧. …(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+alnx的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率为10.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)判断方程f(x)=2x根的个数,证明你的结论;(Ⅲ)探】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
|
A.-
| ||||||
B.
| ||||||
C.
| ||||||
D.-
|
(Ⅰ) 当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(Ⅱ) 当m=2时,若函数g(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.
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