题目

题型：解答题难度：一般来源：怀柔区二模

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的零点；
（Ⅱ）求函数y=f （x）在区间[1，2]上的最小值．

答案

（Ⅰ）由题意f（x）=x²（x-3），
由f（x）=0，解得x=0，或x=3；
（Ⅱ）设此最小值为m．，f/(x)=3x2-2ax=3x(x-

2

3

a)，x∈(1，2)，
（1）当a≤0时，f′（x）＞0，x∈（1，2），
则f（x）是区间[1，2]上的增函数，所以m=f（1）=1-a
（2）当a＞0时，
当x＜0或x＞

2a

3

时，f"（x）＞0，从而f（x）在[

2

3

a，+∞）上是增函数；
当0＜x＜

2a

3

时，f"（x）＜0，从而f（x）在区间[0，

2

3

a]上是单调减函数
①当

2

3

a≥2，即a≥3时，m=f（2）=8-4a
②当1≤

2

3

a＜2，即

3

2

≤a＜3时，m=f(

2a

3

)=-

4a

27

3.
③当0＜a＜

3

2

时，m=f（1）=1-a
综上所述，所求函数的最小值m=

1-a，(a≤ 3 2 ) - 4a3 27 ，( 3 2 ＜a＜3) 4(2-a)，(a≥3)