题目

题型：解答题难度：一般来源：模拟题

已知函数f(x)=ax²+2x，g(x)=lnx，
(1)如果函数y=f(x)在[1，+∞)上是单调增函数，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a＞0，使得方程=f′(x)-(2a+1)在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

解：(1)当a=0时，f(x)=2x在[1，+∞)上是单调增函数，符合题意；
当a＞0时，y=f(x)的对称轴方程为，
由于y=f(x)在[1，+∞)上是单调增函数，
所以，解得a≤-2或a＞0，所以a＞0；
当a＜0时，不符合题意；
综上，a的取值范围是a≥0．
(2)把方程整理为，
即为方程，
设，
原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根，即为函数H(x)在区间内有且只有两个零点，
，
令H′(x)=0，因为a＞0，解得x=1或(舍)，
当x∈(0，1)时，H′(x)＜0，H(x)是减函数；
当x∈(1，+∞)时，H′(x)＞0，H(x)是增函数．
H(x)在内有且只有两个不相等的零点，
只需。