题目
题型:解答题难度:困难来源:江苏同步题
(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)+m2-m-1(m∈R),求出p(t)的解析式;
(2)若p(t)≥m2-m-1对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围;
(3)若方程p(p(t))=0无实根,求m的取值范围。
答案
则有f(-x)=g(-x)+h(-x),即f(-x)=g(x)-h(x),②
由①②解得g(x)=
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∵f(x)定义在R上,
∴g(x),h(x)都定义在R上,
∵g(-x)=
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∴g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,
∵f(x)=2x+1,
∴g(x)=
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h(x)=
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由
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平方得t2=
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∴g(2x)=22x+
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∴p(t)=t2+2mt+m2-m+1。
(2)∵t=h(x)对于x∈[1,2]单调递增,
∴
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p(t)=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于t∈
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∴m≥-
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令φ(t)=-
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∵t∈
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故φ(t)=-
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∴φ(t)max=
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∴m≥
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(3)由(1)得p(p(t))=[p(t)]2+2mp(t)+m2-m+1,
若p(p(t))=0无实根,即[p(t)]2+2mp(t)+m2-m+1=0①无实根,
方程①的判别式△=4m2-4(m2-m+1)=4(m-1),
1°当方程①的判别式△<0,即m<1时,方程①无实根;
2°当方程①的判别式△≥0,
即m≥1时,方程①有两个实根p(t)=t2+2mt+m2-m+1=-m±
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即t2+2mt+m2+1±
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只要方程②无实根,故其判别式△=4m2-4(m2+1±
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即得-1-
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∵m≥1,③恒成立,
由④解得m<2,
∴③④同时成立得1≤m<2;
综上,m的取值范围为m<2。
核心考点
试题【已知函数f(x)=2x+1定义在R上, (1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)判断函数f(x)=x2-2x+2在[1,2]上是否具有“DK”性质,说明理由;
(2)若f(x)=x2-ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性质,求a的取值范围.
(1)求f(x)的表达式;
(2)求数列{an}的通项公式。
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在自然数m,使得方程f(x)+
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(Ⅰ)设y=ax,其中a是满足
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(Ⅱ)若y=
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