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题目
题型:解答题难度:一般来源:湖南省高考真题
已知函数f(x)=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称。
(1)求b的值;
(2)若f(x)在x=t处取得极小值,记此极小值为g(t),求g(t)的定义域和值域。
答案
解:(1)f′(x)=3x2+2bx+c
因为函数f′(x)的图象关于直线x=2对称,
所以=2,于是b=-6。
(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+cx
f′(x)=3x2-12x+c=3(x-2)2+c-12
(i)当c≥12时,f′(x)≥0,此时f(x)无极值
(ii)当c<12时,f′(x)=0有两个互异实根x1,x2
不妨设x1<x2,则x1<2<x2
当x<x1时,f′(x)>0,f(x)在区间(-∞,x1)内为增函数;
当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)在区间(x1,x2)内为减函数;
当x>x2时,f′(x)>0,f(x)在区间(x2,+∞)内为增函数
所以f(x)在x=x1处取极大值,在x=x2处取极小值
因此,当且仅当c<12时,函数f(x)在x=x2处存在唯一极小值,
所以t=x2>2
于是g(t)的定义域为(2,+∞)
由f′(t)=3t2-12t+c=0得c=-3t2+12t
于是g(t)=f(t)=t3-6t2+ct=-2t3+6t2,t∈(2,+∞)
当t>2时,g′(t)=-6t2+12t=6t(2-t)<0
所以函数g(t)在区间(2,+∞)内是减函数,
故g(t)的值域为(-∞,8)。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称。(1)求b的值;(2)若f(x)在x=t处取得极小值,记此极小值为g(t),求g(t)的定】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于直线对称,据此可推测,对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解集都不可能是

[     ]

A.{1,2}
B.{1,4}
C.{1,2,3,4}
D.{1,4,16,64}
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知a>0且a≠1,f(x)=x2-ax,当x∈(-1,1)时均有f(x)<,则实数a的取值范围是 [     ]
A、
B、
C、
D、
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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题型:填空题难度:一般| 查看答案
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题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称,
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)若函数f(x)无极值,求c的取值范围;
(Ⅲ)若f(x)在x=t处取得极小值,记此极小值为g(t),求g(t)的定义域和值域。
题型:解答题难度:困难| 查看答案
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