题目

题型：解答题难度：一般来源：湖南省高考真题

已知函数f（x）=x³+bx²+cx的导函数的图象关于直线x=2对称。
（1）求b的值；
（2）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域。

答案

解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c
因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，
所以=2，于是b=-6。
（2）由（1）知，f（x）=x³-6x²+cx
f′（x）=3x²-12x+c=3（x-2）²+c-12
（i）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值
（ii）当c＜12时，f′（x）=0有两个互异实根x₁，x₂
不妨设x₁＜x₂，则x₁＜2＜x₂
当x＜x₁时，f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，x₁）内为增函数；
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x₁，x₂）内为减函数；
当x＞x₂时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x₂，+∞）内为增函数
所以f（x）在x=x₁处取极大值，在x=x₂处取极小值
因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x=x₂处存在唯一极小值，
所以t=x₂＞2
于是g（t）的定义域为（2，+∞）
由f′（t）=3t²-12t+c=0得c=-3t²+12t
于是g（t）=f（t）=t³-6t²+ct=-2t³+6t²，t∈（2，+∞）
当t＞2时，g′（t）=-6t²+12t=6t（2-t）＜0
所以函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，
故g（t）的值域为（-∞，8）。