题目

题型：解答题难度：困难来源：江苏期中题

已知函数，．
（1）当b=0时，若f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（3）对满足（2）中的条件的整数对（a，b），试构造一个定义在D={x|x∈R且x≠2k，k∈Z}上的函数h（x），使h（x+2）=h（x），且当x∈（﹣2，0）时，h（x）=f（x）．

答案

解：（1）当b=0时，f（x）=ax²﹣4x，
若a=0，f（x）=﹣4x，则f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，符合题意；
若a≠0，要使f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，必须满足
∴0＜a≤1．
综上所述，a的取值范围是[0，1]
（2）若a=0，，则f（x）无最大值，故a≠0，
∴f（x）为二次函数，要使f（x）有最大值，必须满足
即a＜0且，
此时，时，f（x）有最大值．
又g（x）取最小值时，x₀=a，
依题意，有，则
，
∵a＜0且，
∴，得a=﹣1，
此时b=﹣1或b=3．
∴满足条件的整数对（a，b）是（﹣1，﹣1），（﹣1，3）．
（3）当整数对是（﹣1，﹣1），（﹣1，3）时，f（x）=﹣x²﹣2x
∵h（x+2）=h（x），
∴h（x）是以2为周期的周期函数，
又当x∈（﹣2，0）时，h（x）=f（x），构造h（x）如下：
当x∈（2k﹣2，2k），k∈Z，则
h（x）=h（x﹣2k）=f（x﹣2k）=﹣（x﹣2k）²﹣2（x﹣2k），
故h（x）=﹣（x﹣2k）²﹣2（x﹣2k），x∈（2k﹣2，2k），k∈Z．