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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2-ax+4+2lnx
(I)当a=5时,求f(x)的单调递减函数;
(Ⅱ)设直线l是曲线y=f(x)的切线,若l的斜率存在最小值-2,求a的值,并求取得最小斜率时切线l的方程;
(Ⅲ)若f(x)分别在x1、x2(x1≠x2)处取得极值,求证:f(x1)+f(x2)<2.
答案
(I)因为函数的定义域为{x|x>0},
当a=5时,f(x)=x2-5x+4+2lnx,f′(x)=2x-5+
2
x
=
2x2-5x+2
x
=
2(x-
1
2
)(x-2)
x

所以由f"(x)<0,解得
1
2
<x<2

即函数的单调递减区间为(
1
2
,2
).
(Ⅱ)因为x>0,所以f′(x)=2x+
2
x
-a≥2


4
-a=4-a

当且仅当x=1时取等号.因为直线l的斜率存在最小值-2,
所以4-a=-2,即a=6.
当l取得最小斜率时,因为f(-1)=-1,即切点为(1,-1).
从而切线方程l:y+1=-2(x-1),即:2x+y-1=0.
(Ⅲ)f′(x)=2x+
2
x
-a=
2x2-ax+2
x

因为f(x)分别在x1、x2(x1≠x2)处取得极值,
所以x1、x2(x1≠x2)是方程
2x2-ax+2
x
=0

即2x2-ax+2=0的两个不等正根.
则△=a2-16>0解得a2>16,且x1+x2=
a
2
x1x2=1

从而f(x1)+f(x2)=
x21
+
x22
-a(x1+x2)+8+2ln⁡(x1x2)

=(x1+x2)2-2x1x2-a(x1+x2)+8+2ln⁡(x1x2)
=(
a
2
)
2
-2×1-a×
a
2
+8+2ln1=-
a2
4
+6

因为a2>16,所以-
a2
4
+6<2

即不等式f(x1)+f(x2)<2成立.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2-ax+4+2lnx(I)当a=5时,求f(x)的单调递减函数;(Ⅱ)设直线l是曲线y=f(x)的切线,若l的斜率存在最小值-2,求a的值】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=x2+2xsinθ-1,x∈[-


3
2
1
2
]

(1)当θ=
π
6
时,求f(x)的最大值和最小值;
(2)若f(x)在x∈[-


3
2
1
2
]
上是单调增函数,且θ∈[0,2π),求θ的取值范围.
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如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1,并且通过点A(-1,7),则(  )
A.a=2,b=4B.a=2,b=-4C.a=-2,b=4D.a=-2,b=-4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(4,0),且函数的最大值为9,则这个二次函数的表达式是 ______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是(  )
A.[-3,+∞)B.(-∞,-3]C.(-∞,5]D.[3,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
对于二次函数f(x)=-4x2+8x-3
(1)求函数f(x)图象的开口方向、f(x)的对称轴方程、顶点坐标,函数的值域;
(2)求函数f(x)的零点; 
(3)求函数f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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