题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）的图象与x轴交于A，B两点，且|AB|=2

3

，它在y轴上的截距为4，对任意的x都有f（x+1）=f（1-x）．（1）求f（x）的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线l：y=x+c下方，求c的取值范围．

答案

（1）∵f（x+1）=f（1-x），∴y=f（x）的对称轴为x=1，
又f（x）为二次函数，可设f（x）=a（x-1）²+k（a≠0）．
又当x=0时，y=4，∴a+k=4，得f（x）=a（x-1）²+4．令f（x）=0得a（x-1）²+4=0，
∴x=1±

a-4 a

（

a-4

a

≥0）
∴|AB|=2

a-4 a

，又|AB|=2

3

，
∴

a-4 a

=

3

，∴a=-2，
∴f（x）=-2x²+4x+4
（2）由条件知-2x²+4x+4≤x+c在xÎR恒成立，即2x²-4x-4+c≥0对xÎR恒成立，
∴△=9+8（4-c）≤0，∴c≥

41

8

∴c的取值范围是[

41

8

，+∞)