设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存在实数m,使f(m)=-a. (1)试推断函数f(x)在区间[0,+∞]上的单调性; (2)设x1、x2是f(x)+bx=0的不等实根,求|x1-x2|的取值范围; (3)比较f(m+3)与0的大小. |
(1)由f(1)=0可得a+b+c=0,a+c=-b ①, 由f(m)=-a可得 ax2+bx+c+a=0 有实数根,故判别式△=b2-4a(c+a)≥0 ②. 由①②可得 b2+4ab=b(b+4a)≥0, ∵a>b>c,∴a>0,c<0,∴b+4a=-(a+c)+4a=3a-c>0,∴b≥0. ∴二次函数f(x) 的对称轴为x=-≤0,故f(x) 在(0,+∞)上是增函数. (2)由于x1、x2是f(x)+bx=0的不等实根,故x1+x2=-,x1•x2=, ∴|x1-x2|===. 由a>b=-(a+c) 可得 2a>-c,∴>-2. 又a+c=-b≤0,可得≤-1. 综上可得-2<≤-1,-<+≤-,故 ≤(+)2<, ∴2≤|x1-x2|<2,故|x1-x2|的取值范围是[2,2). (3)∵f(1)=0,故可设f(x)=a(x-1)(x-). ∵f(m)=-a,∴a(m-1)(m-)=-a,(m-1)(m-)=-1<0. ∵<0,∴<m<1,∴m>-2,m+3>1,故f(x)在[0,+∞)上是增函数, 故有 f(m+3)>f(1)=0. |
核心考点
试题【设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存在实数m,使f(m)=-a.(1)试推断函数f(x)在区间[0,+∞]上的单调性;(2】;主要考察你对
二次函数的图象和性质等知识点的理解。
[详细]
举一反三
求函数y=-x2-2x+1,x∈(-3,2)的值域______. |
如果二次函数y=x2+mx+(m+3)不存在零点,则m的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪(6,+∞) | B.{-2,6} | C.[-2,6] | D.(-2,6) |
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已知函数f(x)=x2-6x+8在[1,a]上的最小值为f(a),则实数a的取值范围为( )A.(1,3] | B.(1,+∞) | C.(1,5) | D.[3,5] |
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已知y=x2+2(a-2)+5在(4,+∞)上是增函数,则实数a的范围是( ) |
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t). (1)若⊥,且||=||,求向量. (2)若向量与向量共线,常数k>0,当f(θ)=tsinθ取最大值4时,求•. |