题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）的顶点坐标为（1，1），且f（0）=3，
（1）求f（x）的解析式，
（2）x∈[-1，1]，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围，
（3）若f（x）在区间[a，a+1]上单调，求实数a的取值范围．

答案

（1）由已知，设f（x）=a（x-1）²+1，
由f（0）=3，得a=2，
故f（x）=2x²-4x+3
（2）由已知，即2x²-4x+3＞2x+2m+1，化简得 x²-3x+1-m＞0，
设g（x）=x²-3x+1-m，则只要g（x）_min＞0，x∈[-1，1]即可
∵g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上为减函数
∴g（x）_min=g（1）=-1-m＞0，
∴m＜-1．
（3）要使函数f（x）=2（x-1）²+1在[a，a+1]单调，
则a+1≤1或a≥1，
则a≤0或a≥1，
∴实数a的取值范围为a≤0或a≥1，