题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

对于函数f（x），若存在x₀使得f（x₀）=x₀成立，则称点（x₀，x₀）为函数f（x）的不动点．
（1）已知函数f（x）=ax²+bx-b（a≠0）有不动点（1，1）和（-3，-3），求a，b的值．
（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax²+bx-b总有两个相异的不动点，求a的范围．

答案

（1）由题意

f(1)=1 f(-3)=-3

，即

a+b-b=1 a(-3)2+b(-3)-b=-3

，解的

a=1 b=3

．
（2）函数f（x）=ax²+bx-b总有两个相异的不动点，
即关于x的方程f（x）=x有两个不等根．
化简f（x）=x得到ax²+（b-1）x-b=0．
所以（b-1）²+4ab＞0，即b²+（4a-2）b+1＞0．
由题意，该关于b的不等式恒成立，
所以（4a-2）²-4＜0．解之得：0＜a＜1．