题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax²+x+1（a∈R）
（Ⅰ）若a∈（0，

1

4

]，求解关于x的不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若方程f（x）=0至少有一个负根，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）当a=

1

4

时，方程

1

4

x²+x+1=0的△=1-4a=0，
则不等式

1

4

x²+x+1＞0的解为：{x|x≠-2}；
当a∈（0，

1

4

]时，方程ax²+x+1=0的△=1-4a＞0，∴方程的解是x=

-1± 1-4a

2a

，
ax²+x+1＞0的解集为：{x|x＞

-1+ 1-4a

2a

或x＜

-1- 1-4a

2a

}，
综上，不等式f（x）＞0的解集：{x|x＞

-1+ 1-4a

2a

或x＜

-1- 1-4a

2a

}，
（Ⅱ）∵方程f（x）=0至少有一个负根，
∴方程f（x）=0有一个负根或有两个负根，
当a=0时，方程变为x+1=0，得x=-1，故符合题意；
当a≠0时，方程的两个根设为：x₁，x₂，
则

△=1-4a≥0 x1+x2=- 1 a ＜0 x1•x2= 1 a ＞0

或

△=1-4a≥0 x1•x2= 1 a ＜0

解得，a＜0或0＜a≤

1

4

，
综上得，a的取值范围是：（-∞，

1

4

]．