题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

二次函数的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得的线段长8．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f （x）的图象恒在一次函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

答案

（1）由已知，设f（x）=a（x-1）²+16，函数与x轴的交点为（x₁，0）与（x₂，0）
又由图象在x轴上截得的线段长8，得|x₁-x₂|=|(1+

- 16 a

)-(1-

- 16 a

)|=8，
解得：a=-1
故f（x）=-（x-1）²+16=-x²+2x+15
（2）由已知，即-x²+2x+15＞2x+m，化简得 x²+m-15＜0，
设g（x）=x²+m-15，则只要g（x）_max＜0，x∈[-1，1]即可
∵g（x）=x²+m-15在[-1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数．
∴g（x）_max=g（1）=1+m-15＜0，
∴m＜14．