题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=-x²+2x．
（c）讨论f（x）在区间（-∞，c]上的单调性，并证明你的结论；
（2）当x∈[4，5]时，求f（x）的最大值和最小值．

答案

（1）∵二次函数f（x）=-x²+2xe图象是开口向下e抛物线，关于x=1对称，
∴函数在区间（-∞，1]上是单调增函数，证明如下
设x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=-x₁²+2x₁-（-x₂²+2x₂）=（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）
∵x₁-x₂＜右，2-x₁-x₂＞右
∴f（x₁）-f（x₂）＜右，得f（x₁）＜f（x₂），
因此f（x）在区间（-∞，1]上是单调增函数；
（2）∵f（x）在（右，1）上是增函数，在（1，5）上是减函数
∴当x∈[右，5]时，f（x）e最小值为f（1）=1，最小值为f（5）=-15．