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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知开口向上的二次函数f(x),对任意x∈R,恒有f(2-x)=f(2+x)成立,设向量a=(|x+2|+|2x-1|,1),b=(1,2).求不等式f(a•b)<f(5)的解集.
答案
由题意知f(x)在[2,+∞)上是增函数,…(1分)


a


b
=|x+2|+|2x-1|+2≥2…(2分)
∴f(


a


b
)<f(5)⇔a•b<5⇔|x+2|+|2x-1|<3(*)   …(3分)
当x≤-2时,不等式(*)可化为-(x+2)-(2x-1)<3,
x>-
4
3
,…(5分)
此时x无解;…(6分)
-2<x<
1
2
时,不等式(*)可化为x+2-(2x-1)<3,
∴x>0,…(8分)
此时0<x<
1
2
;…(9分)
x≥
1
2
时,不等式(*)可化为x+2+2x-1<3,
x<
2
3
,…(11分)
此时
1
2
≤x<
2
3
.…(12分)
综上可知:不等式f(a•b)<f(5)的解集为(0,
2
3
)
.…(13分)
核心考点
试题【已知开口向上的二次函数f(x),对任意x∈R,恒有f(2-x)=f(2+x)成立,设向量a=(|x+2|+|2x-1|,1),b=(1,2).求不等式f(a•b】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
从1,2,3,…9这9个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数,则满足
f(1)
2
∈Z的函数f(x)共有(  )
A.263个B.264个C.265个D.266个
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R).
(1)若函数f(x)无零点,求证:b>0;
(2)若函数f(x)有两个零点,且两零点是相邻两整数,求证:f(-a)=
1
4
(a2-1)

(3)若函数f(x)有两非整数零点,且这两零点在相邻两整数之间,试证明:存在整数k,使得|f(k)|<
1
4
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1为偶函数,且f(-1)=-1.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)若函数g(x)=f(x)+(2-k)x在区间[-2,2]上单调递减,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
实数a,b满足2a+b=5,则ab的最大值为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对x∈R恒成立,则a的取值范围为(  )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪[2,+∞)C.(-2,2)D.(-2,2]
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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