题目

题型：解答题难度：困难来源：0103 月考题

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（3）求证：。

答案

（1）解：，
当a>0时，的单调增区间为，减区间为；
当a<0时，的单调增区间为，减区间为；
当a=0时，不是单调函数。
（2）解：，∴，
，
∴，
∴，
∵在区间（t，3）上总不是单调函数，且，
∴，
由题意知：对于任意的，恒成立，
所以，，∴，
所以，m的取值范围是（，-9）。
（3）证明：令，此时，
所以，
由（1）知在上单调递增，
∴当时，，
即，
∴，对一切成立，
∵，
则有，
∴，
∴。