题目
题型:解答题难度:一般来源:河北省会考题
已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=,且对于任意实数x,y,总有f(x)·f(y)= f(x+y)+f(x-y)成立。
(Ⅰ)求f(0)的值,并证明函数f(x)为偶函数;
(Ⅱ)定义数列{an}:an=2f(n+1)-f(n)(n=1,2,3,…),求证:数列{an}为等比数列。
答案
得f(1)·f(0)=f(1)+f(1),
又f(1)=
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令x=0,得f(0)·f(y)=f(y)+f(-y),
则f(y)=f(-y),又f(x)定义在R上,
故f(x)为偶函数;
(Ⅱ)an+1=2f(n+2)-f(n+1)
=2[f(n+1)·f(1)-f(n)]-f(n+1)
=4f(n+1)-2f(n),
而an=2f(n+1)-f(n),
故数列{an}是等比数列。
核心考点
试题【已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=,且对于任意实数x,y,总有f(x)·f(y)= f(x+y)+f(x-y)成立。(Ⅰ)求f(0)的值,并证明函数f(】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
[ ]
B.-1
C.2
D.1
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[ ]
B.-2
C.3
D.2
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