题目

题型：解答题难度：一般来源：江苏月考题

已知函数f（x）=x²+（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）当a=0时，f（x）=x²
对任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），有f（﹣x）=（﹣x）²=x²=f（x），
∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）=x²+ （x≠0，常数a∈R），
取x=±1，得f（﹣1）+f（1）=2≠0，
f（﹣1）﹣f（1）=﹣2a≠0，
∴f（﹣1）≠﹣f（1），f（﹣1）≠f（1）．
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设2≤x₁＜x₂，
f（x₁）﹣f（x₂）= 
                            = [x₁x₂（x₁+x₂）﹣a]，
要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，必须f（x₁）﹣f（x₂）＜0恒成立．
∵x₁﹣x₂＜0，x₁x₂＞4，即a＜x₁x₂（x₁+x₂）恒成立．
又∵x₁+x₂＞4，
∴x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∴a的取值范围是（﹣∞，16]．