设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得 f(x1)+f(x2)2=C成立（其中C为常数），则称函数y=f（x）在D上的均值 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：单选题难度：一般来源：不详

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)+f(x2)

=C成立（其中C为常数），则称函数y=f（x）在D上的均值为C，现在给出下列4个函数：①y=x³②y=4sinx③y=lgx④y=2^x，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（　　）

A．①②

B．③④

C．①③④

D．①③

答案

由题意可得，均值为2，则

f(x1)+f(x2)

=2即f（x₁）+f（x₂）=4
①：y=x³在定义域R上单调递增，对应任意的x₁，则存在唯一x₂满足x₁³+x₂³=4①正确
②：y=4sinx，满足4sinx₁+4sinx₂=4，令x1=

，则根据三角函数的周期性可得，
满足sinx₂=0的x₂无穷多个，②错误
③y=lgx在（0，+∞）单调递增，对应任意的x₁＞0，则满足lgx₁+lgx₂=4的x₂唯一存在③正确
④y=2^x满足2x1+2x2=4，令x₁=3时x₂不存在④错误
故选D．

核心考点

试题【设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得 f(x1)+f(x2)2=C成立（其中C为常数），则称函数y=f（x）在D上的均值】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数①f（x）=3lnx；②f（x）=3e^cosx；③f（x）=3e^x；④f（x）=3cosx．其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁都存在唯一个个自变量x₂，使

f(x1)f(x2)

=3成立的函数序号是______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

设函数f（x）定义如下表，数列{x_n}满足x₀=5，且对任意自然数均有x_n+1=f（x_n），则x₂₀₀₄的值为（　　）

魔方格

A．1

B．2

C．4

D．5

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．在函数①f1(x)=

，②f₂（x）=x，③f₃（x）=x²中，其中______是“保三角形函数”．（填上正确的函数序号）

题型：填空题难度：一般| 查看答案

函数f（x）为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为（　　）

A．4

B．2

C．1

D．0

题型：单选题难度：一般| 查看答案

我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N^*，y∈N^*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．
（1）请你选取一个m的值，使对函数f（x）=sinmx，x∈R的图象上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标
（2）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（1，2），与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．
（3）对于（2）中的m值，函数f（x）=sinx，x∈[0，

]时，不等式log_ax＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

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