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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(1)=1,f(-1)=0,且对任意实数x,恒有f(x)≥x成立.
(1)求a,b,c的值;
(2)设函数g(x)=f(x)-mx(m∈R),且g(x)在x∈[-1,1]上严格单调,求实数m的取值范围.
答案
(1)由题意得:





a+b+c=1
a-b+c=0
,则b=a+c=
1
2

又对任意实数x,都有f(x)≥x,即ax2-
1
2
x+c≥
0,
则必须





a>0
△=
1
4
-4ac≤0





a>0
ac≥
1
16

于是c>0,所以
1
2
=a+c≥2


ac
ac≤
1
16

所以只有ac=
1
16
,与a+c=
1
2
联立解得:a=c=
1
4

综上可得:a=
1
4
,b=
1
2
,c=
1
4

(2)由(1)解得:f(x)=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4
,于是g(x)=f(x)-mx=
1
4
[x2+(2-4m)x+1]

要使g(x)在x∈[-1,1]上严格单调,则必须:
对称轴x=2m-1≤-1或2m-1≥1,解得:m≤0或m≥1,
则所求的实数m的范围是(-∞,0)∪(1,+∞).
核心考点
试题【已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(1)=1,f(-1)=0,且对任意实数x,恒有f(x)≥x成立.(1)求a,b,c的值;(2)设】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(b-3)x+b的图象关于原点成中心对称,则f(x)(  )
A.在 (-4


3
,4


3
)
上为增函数
B.在(-4


3
,4


3
)
上不是单调函数
C.在(-∞,-4


3
)
上为减函数,在(4


3
,+∞)
上为增函数
D.在(-∞,-4


3
)
为增函数,在(4


3
,+∞)
也为增函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知定义在R上的偶函数g(x)满足:当x≠0时,xg′(x)<0(其中g′(x)为函数g(x)的导函数);定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+2)=-f(x),在区间[0,1]上为单调递增函数,且函数y=f(x)在x=-5处的切线方程为y=-6.若关于x的不等式g[f(x)]≥g(a2-a+4)对x∈[6,10]恒成立,则a的取值范围是(  )
A.-2≤a≤3B.a≤-1或a≥2C.-1≤a≤2D.a≤-2或a≥3
题型:单选题难度:简单| 查看答案
下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是(  )
A.y=1nxB.y=x3C.y=2|x |D.y=sinx
题型:单选题难度:一般| 查看答案
下列函数是偶函数的是(  )
A.f(x)=x2(x≥0)B.f(x)=cos(x-
π
2
C.f(x)=exD.f(x)=lg|x|
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)是偶函数,在(0,+∞)上导数为f"(x)>0恒成立,下列不等式成立的是(  )
A.f(-3)<f(-1)<f(2)B.f(-1)<f(2)<f(-3)C.f(2)<f(-3)<f(-1)D.f(2)<f(-1)<f(-3)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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