题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数f(x)=

x

x+1

，数列{a_n}满足：an＞0，a1=1，an+1=f(an)，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=

2

an

+1，对任意正整数n，不等式

kn+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )(1+ 1 b3 )…(1+ 1 bn )

-

kn

2+bn

≤0恒成立，求正数k的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵f（x）=

x

x+1

，∴a_n+1=

an

an+1

，∴

1

an+1

-

1

an

=1
∴数列{

1

an

}是首项

1

a1

=1，公差d=1的等差数列，

1

an

=1+（n-1）=n
∴a_n=

1

n

．
（Ⅱ）由已知得k≤

(1+ 1 3 )(1+ 1 5 )…(1+ 1 2n+1 )

2n+3

设c_n=

(1+ 1 3 )(1+ 1 5 )…(1+ 1 2n+1 )

2n+3

则

cn+1

cn

=

2n+4

2n+3 • 2n+5

＞1，所以数列{c_n}递增，
∴c_n的最小值为c₁=

4 5

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，
∴只需0＜k≤

4 5

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