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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义域为R的函数f(x)=
3x+b
3x+a
是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)讨论函数y=f(x)的单调性;
(3)若对任意的t∈[-3,3],不等式f(2t2+4t)+f(k-t2)<0恒成立,求实数k的取值范围.
答案
方法一:
(1)由定义在R上的函数f(x)=
3x+b
3x+a
是奇函数得对一切x∈R,f(x)+f(-x)=0恒成立
3x+b
3x+a
+
3-x+b
3-x+a
=0 即
3x+b
3x+a
+
b•3x+1
1+a•3x
=0

整理得(a+b)(3x2+(ab+1)3x+a+b=0对任意x∈R恒成立,





a+b=0
ab+1=0
,解得





a=1
b=-1





a=-1
b=1

又因为函数的定义域为R,故a=1,b=-1.
方法二:由题意可知f(0)=0,即1+b=0,b=-1,此时f(x)=
3x-1
3x+a

又由f(1)+f(-1)=0得a=1,此时f(x)=
3x-1
3x+1
,经检验满足f(-x)=-f(x)符合题意.
(2)由f(x)=
3x-1
3x+1
f′(x)=
3xln3(3x+1)-(3x-1)3xln3
(3x+1)2
=
2•3xln3
(3x+1)2
>0
恒成立,
故函数y=f(x)在R上为增函数.
(3)函数y=f(x)为奇函数且在R上为增函数
由f(2t2+4t)+f(k-t2)<0得f(2t2+4t)<-f(k-t2)2t2+4t<t2-k(12分)-k>t2+4t=(t+2)2-4对一切x∈[-3,3]恒成立
所以-k>{(t+2)2-4}max,x∈[-3,3],-k>21,∴实数k的取值范围是k<-21.
核心考点
试题【已知定义域为R的函数f(x)=3x+b3x+a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)讨论函数y=f(x)的单调性;(3)若对任意的t∈[-3,3],不等式f(2t】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(普通中学学生做)若不等式x2+ax+a>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n+
3
2
an
(n∈N*).数列{bn}是等差数列,且b2=a2,b20=a4
(1)求证:数列{an-1}是等比数列;
(2)求数列{
bn
an-1
}
的前n项和Tn
(3)若不等式Tn+
-n2+11n-6
3n
<lo
g a
x
(a>0且a≠1)对一切n∈N*恒成立,求实数x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数,则k的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=1-
sinx
1+|x|
(x∈R)的最大值为M,最小值为m,则M+m______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
当0≤x≤1时,|ax-
1
2
x3|≤1
恒成立,则a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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