设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量OA=（x1，f（x1）），OB=(x2， f(x2))，O - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：扬州模拟

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向
量

=（x₁，f（x₁）），

=(x2， f(x2))，

=（x，y），当实数λ满足x=λ x₁+（1-λ） x₂时，记向量

=λ

+（1-λ）

．定义“函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指“|

|≤k恒成立”，其中k是一个确定的正数．
（1）设函数 f（x）=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（2）求证：函数g（x）=lnx在区间[e^m，e^m+1]（m∈R）上可在标准k=

下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

答案

（1）由

=λ

+（1-λ）

得到

=λ

，
所以B，N，A三点共线，（2分）
又由x=λx₁+（1-λ）x₂与向量

=λ

+（1-λ）

，得N与M的横坐标相同．（4分）
对于[0，1]上的函数y=x²，A（0，0），B（1，1），
则有|

|=x-x2=-(x-

)2+

，故|

|∈[0，

]；
所以k的取值范围是[

，+∞)．（6分）
（2）对于[e^m，e^m+1]上的函数y=lnx，
A（e^m，m），B（e^m+1，m+1），（8分）
则直线AB的方程y-m=

em+1-em

(x-em)，（10分）
令h(x)=lnx-m-

em+1-em

(x-em)，其中x∈[e^m，e^m+1]（m∈R），
于是h′(x)=

em+1-em

，（13分）
列表如下：

核心考点

试题【设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量OA=（x1，f（x1）），OB=(x2， f(x2))，O】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

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e^m

（e^m，e^m+1-e^m）

e^m+1-e^m

（e^m+1-e^m，e^m+1）

e^m+1

h"（x）

h（x）

增

h（e^m+1-e^m）

减

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

(a＞0)，设F（x）=f（x）+g（x）
（1）求F（x）的单调区间；
（2）若以y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

恒成立，求实数a的最小值；
（3）若对所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-3，则当x＜0时，f（x）=______．

已知a为常数，f（x）=lg(

1+x

-1)是奇函数．
（1）求a的值，并求出f（x）的定义域；
（2）解不等式f（x）＞-1．

已知函数f（x）=x²-alnx，g（x）=bx-

+2，其中a，b∈R且ab=2．函数f（x）在[

，1]上是减函数，函数g（x）在[

，1]上是增函数．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；
（2）若不等式f（x）≥g（x）对x∈[

，1]恒成立，求实数m的取值范围．
（3）求函数h（x）=f（x）+g（x）-

x的最小值，并证明当n∈N^*，n≥2时f（n）+g（n）＞3．

已知：二次函数f（x）=ax²+bx+c满足：①对于任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，f(x)≤

(x+2)2恒成立，②f（-2）=0
（1）求证：f（2）=2
（2）求f（x）的解析式．
（3）若g（x）=x+m，对于任意x∈[-2，2]，存在x₀∈[-2，2]，使得f（x）=g（x₀）成立，求实数m的取值范围．