已知函数f（x）=-x2+ax+b（a，b∈R）对任意实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，若当x∈[-1，1]时f（x）＞0恒成立，则b的取值范围____ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：填空题难度：简单来源：不详

已知函数f（x）=-x²+ax+b（a，b∈R）对任意实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，若当x∈[-1，1]时f（x）＞0恒成立，则b的取值范围______．

答案

由题意，∵f（1+x）=f（1-x），
∴y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴

=1即a=2，
∵图象开口方向向下，
∴函数在[-1，1]上单调递增，
∴要使当x∈[-1，1]时f（x）＞0恒成立，则有f（-1）＞0，
∴b＞3，
故答案为：b＞3．

核心考点

试题【已知函数f（x）=-x2+ax+b（a，b∈R）对任意实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，若当x∈[-1，1]时f（x）＞0恒成立，则b的取值范围____】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是______．

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定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式xf（x）≥0的解集为______．

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函数f（x）=x³+2x的奇偶性为 ______．

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对于函数f（x）=a x²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数 x₀，使f（ x₀）=x₀成立，则称 x₀为f（x）的不动点
（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下判断直线L：y=ax+1与圆（x-2）²+（y+2）²=4 a²+4的位置关系．

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已知函数f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R）为偶函数
（1）求a的值
（2）若x∈（0，+∞）时总有f（x）-（1-m）x²＞0成立，求m的取值范围．

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