题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)若f(-1)=0,试判断函数f(x)零点个数;
(2)若对任意的x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2)(a>0),试证明:
1 |
2 |
x1+x2 |
2 |
(3)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同时满足以下条件:
①对任意x∈R,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥0;
②对任意的x∈R,都有0≤f(x)-x≤
1 |
2 |
答案
∴a-b+c=0,b=a+c,
∵△=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2,
当a=c时△=0,函数f(x)有一个零点;
当a≠c时,△>0,函数f(x)有两个零点.
(2)
1 |
2 |
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
=a[
x12 |
2 |
x22 |
2 |
x1+x2 |
2 |
1 |
4 |
因为a>0,x1<x2,f(x1)≠f(x2),
所以
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4 |
1 |
2 |
x1+x2 |
2 |
(3)假设a,b,c存在,由①知抛物线的对称轴为x=-1,且f(x)min=0,
∴-
b |
2a |
4ac-b2 |
4a |
由②知对∀x∈R,都有0≤f(x)-x≤
1 |
2 |
令x=1得0≤f(1)-1≤0⇒f(1)-1=0⇒f(1)=1⇒a+b+c=1,
由
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1 |
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1 |
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当a=c=
1 |
4 |
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1 |
4 |
1 |
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1 |
4 |
1 |
4 |
又f(x)-x=
1 |
4 |
1 |
2 |
∴存在a,b,c∈R,使f(x)同时满足条件①、②.
核心考点
试题【已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(1)若f(-1)=0,试判断函数f(x)零点个数;(2)若对任意的x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2)(】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)用定义法证明:函数f(x)在区间(-∞,1]上是减函数;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)-mx是偶函数,求m的值.
①当x∈R时,f(x)的最小值为0,且图象关于直线x=-1对称;
②当x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立.
(1)求f(1)的值;
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(x)在区间[m-1,m]上恒有|f(x)-x|≤1,求实数m的取值范围.
A.y=2x | B.y=x2 | C.y=2x | D.y=log3x |
A.f(-1)<f(-3) | B.f(0)>f(1) | C.f(2)>f(3) | D.f(-3)<f(5) |
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