题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

a

=（cos

3

x，sin

3

x），

b

=（cosx，sinx）（0＜x＜π）．设函数f（x）=

a

•

b

，且f（x）+f"（x）为偶函数．
（1）求x的值；
（2）求f（x）的单调增区间．

答案

（1）f（x）=

a

•

b

=cos

3

xcosϕ+sin

3

xsinϕ=cos（

3

x-ϕ），
所以f（x）+f"（x）=cos（

3

x-ϕ）-

3

sin（

3

x-ϕ）=2cos（

3

x-ϕ+

π

3

），
而f（x）+f"（x）为偶函数，则有-ϕ+

π

3

=kπ，k∈Z，又0＜ϕ＜π，则k=0，即ϕ=

π

3

．
（2）由（1）得f（x）=cos（

3

x-

π

3

），由2kπ-π≤

3

x-

π

3

≤2kπ，
解得

1

3

（2kπ-

2π

3

）≤x≤

1

3

（2kπ+

π

3

），
即此函数的单调增区间为[

2 3

3

kπ-

2 3

9

π，

2 3

3

kπ+

3

9

π]（k∈Z）．