题目
题型:解答题难度:一般来源:浙江
x3 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
(I)求函数y=f(x)-g8(x)的单调区间;
(II)求证:(ⅰ)当x>0时,f(x)≥gt(x)对任意正实数t成立;
(ⅱ)有且仅有一个正实数x0,使得g8(x0)≥gt(x0)对任意正实数t成立.
答案
x3 |
3 |
16 |
3 |
因为当x∈(-∞,-2)时,y">0,
当x∈(-2,2)时,y"<0,
当x∈(2,+∞)时,y">0,
故所求函数的单调递增区间是(-∞,-2),(2,+∞),
单调递减区间是(-2,2).
(II)证明:(i)方法一:
令h(x)=f(x)-gt(x)=
x3 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
当t>0时,由h"(x)=0,得x=t
1 |
3 |
当x∈(x
1 |
3 |
所以h(x)在(0,+∞)内的最小值是h(t
1 |
3 |
故当x>0时,f(x)≥gt(x)对任意正实数t成立.
方法二:
对任意固定的x>0,令h(t)=gt(x)=t
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
由h"(t)=0,得t=x3.
当0<t<x3时,h"(t)>0.
当t>x3时,h"(t)<0,
所以当t=x3时,h(t)取得最大值h(x3)=
1 |
3 |
因此当x>0时,f(x)≥g(x)对任意正实数t成立.
(ii)方法一:f(2)=
8 |
3 |
由(i)得,gt(2)≥gt(2)对任意正实数t成立.
即存在正实数x0=2,使得gx(2)≥gt(2)对任意正实数t成立.
下面证明x0的唯一性:
当x0≠2,x0>0,t=8时,f(x0)=
x03 |
3 |
16 |
3 |
由(i)得,
x03 |
3 |
16 |
3 |
再取t=x03,得gx03(x0)=
x03 |
3 |
所以gx(x0)=4x0-
16 |
3 |
x03 |
3 |
即x0≠2时,不满足gx(x0)≥gt(x0)对任意t>0都成立.
故有且仅有一个正实数x0=2,
使得gx(x0)0≥gt(x0)对任意正实数t成立.
方法二:对任意x0>0,gx(x0)=4x0-
16 |
3 |
因为gt(x0)关于t的最大值是
1 |
3 |
对任意正实数成立的充分必要条件是:4x0-
16 |
3 |
1 |
3 |
即(x0-2)2(x0+4)≤0,①
又因为x0>0,不等式①成立的充分必要条件是x0=2,
所以有且仅有一个正实数x0=2,
使得gx(x0)≥gt(x0)对任意正实数t成立.
核心考点
试题【设f(x)=x33,对任意实数t,记gt(x)=t23x-23t.(I)求函数y=f(x)-g8(x)的单调区间;(II)求证:(ⅰ)当x>0时,f(x)≥gt】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)(文)当a=1,c=
1 |
2 |
(2)(理)求出不等式f(x)<0的解(用a,c表示);
(3)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求a的取值范围;
(4)若f(0)=1,且f(x)≤m2-2km+1,对所有x∈[0,c],k∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
π |
2 |
①y=f(x)是周期函数;②x=π是它的一条对称轴
③(-π,0)是它图象的一个对称中心;④当x=
π |
2 |
A.①② | B.①③ | C.②④ | D.②③ |
x | ||
|
A.是奇函数但不是偶函数 |
B.是偶函数但不是奇函数 |
C.既是奇函数又是偶函数 |
D.既不是奇函数又不是偶函数 |
x2 |
1+x |
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若不等式(1+
1 |
n |
π |
2 |
A.(0,1] | B.(-∞,1) | C.(-∞,1] | D.(0,
|
最新试题
- 1已知a=20.5,b=2.10.5,c=log21.5,则a,b,c的大小关系是________.
- 2阅读下面的文章,回答问题。(10分)休闲就是干点别的①我认识一位作家,他的休闲方式,有些奇怪。②他是写小说的,每天下午3
- 3中国马头琴学会会长齐·宝力高,终生致力于马头琴的宣传普及和推广工作,在国内外举办了数百场音乐会,为马头琴艺术发展、为中华
- 4-8的绝对值是[ ]A. B. C. D.
- 5石灰石的用途是( )①建筑材料②刻划玻璃③制水泥④制生石灰⑤制二氧化碳⑥刷墙壁A.②③⑥B.①②③C.②⑤⑥D.①③④
- 6的值为 ( )
- 7书面表达。 看卡片, 结合卡片上的内容, 写一篇短文(首句已给出)。60字左右。Name: Zhang JunAge:
- 8如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径作⊙O交AB于点D,取AC的中点E,连接DE、OE.(1)求证:DE是
- 9已知全集,,,那么( )A.B.C.D.
- 10△ABC底边BC边上的高为8cm,当C沿BC向B运动,这时边长为xcm,则三角形的面积ycm可表示为( )A.y=4x
热门考点
- 1已知一元二次方程有一个根为2,那么这个方程可以是______________(填上你认为正确的一个方程即可)。
- 2【题文】下列各句的句式,与其他三句不同的一句是 ( )(3分)A.乃设九宾礼于廷B.贪
- 3I don"t like milk, but I am made ___________ it every day.
- 4要使不等式0≤x2+ax+5≤4恰好有一个解,则实数a的值为( )。
- 5听下面一段材料,回答第1-3题。1. Why did the man congratulate the woman?A.
- 6以下不是中东产油国的是A.沙特阿拉伯B.科威特C.伊朗D.英国
- 7---Do your parents have the same hobby?---No.My father likes
- 8These days everyone is worried about the size of their carbo
- 9下列装置或操作能达到实验目的是( )A.分离乙酸和乙醇B.构成锌铜原电池C.制备乙酸乙酯D.石油的分馏
- 10设f-1(x)是函数f(x)=x的反函数,则下列不等式中恒成立的是( )A.f-1(x)≤2x-1B.f-1(x)≤2