题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求f(x)的表达式
(2)对于任意x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,求证:|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|.
答案
∴f(x+1)=g(1-x)
∴f(x)=g(2-x)
当-1≤x≤0时,2≤2-x≤3,
∵当x∈[2,3]时,g(x)=-x2+4x+c(c为常数).
∴f(x)=-(2-x)2+4(2-x)+c=-x2+c+4
当0<x≤1时,-1≤-x<0,∴f(-x)=-x2+c+4
由于f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)=x2-c-4
∴f(x)=
|
(2)当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2时,0<x1+x2<2,
∴|f(x2)-f(x1)|=|
x | 22 |
x | 21 |
∴|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|.
核心考点
试题【设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,而当x∈[2,3]时,g(x)=-x2+4x+c(c为常数).(1)】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)+m2-m-1(m∈R),求出p(t)的解析式;
(2)若p(t)≥m2-m-1对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围;
(3)若方程p(p(t))=0无实根,求m的取值范围.
| ||
a |
| ||
x |
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,
6 |
6 |
(3)(理)记(2)中的函数的图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
(文) 记(2)中的函数的图象为曲线C,试问曲线C是否为中心对称图形?若是,请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是,请说明理由.
(2)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x∈[4,6]时,f(x)=2x+1,求f(x)在区间[-2,0]上的表达式.
π |
4 |
3 |
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若不等式f(x)-m<2在x∈[
π |
4 |
π |
2 |
2x2 |
x+1 |
πx |
2 |
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