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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2x+1定义在R上.
(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)+m2-m-1(m∈R),求出p(t)的解析式;
(2)若p(t)≥m2-m-1对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围;
(3)若方程p(p(t))=0无实根,求m的取值范围.
答案
(1)假设f(x)=g(x)+h(x)①,其中g(x)偶函数,h(x)为奇函数,
则有f(-x)=g(-x)+h(-x),即f(-x)=g(x)-h(x)②,
由①②解得g(x)=
f(x)+f(-x)
2
h(x)=
f(x)-f(-x)
2

∵f(x)定义在R上,∴g(x),h(x)都定义在R上.
g(-x)=
f(-x)+f(x)
2
=g(x)
h(-x)=
f(-x)-f(x)
2
=-h(x)

∴g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,∵f(x)=2x+1
g(x)=
f(x)+f(-x)
2
=
2x+1+2-x+1
2
=2x+
1
2x
h(x)=
f(x)-f(-x)
2
=
2x+1-2-x+1
2
=2x-
1
2x

2x-
1
2x
=t
,则t∈R,
平方得t2=(2x-
1
2x
)2=22x+
1
22x
-2
,∴g(2x)=22x+
1
22x
=t2+2

∴p(t)=t2+2mt+m2-m+1.
(2)∵t=h(x)关于x∈[1,2]单调递增,∴
3
2
≤t≤
15
4

∴p(t)=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于t∈[
3
2
15
4
]
恒成立,
m≥-
t2+2
2t
对于t∈[
3
2
15
4
]
恒成立,
φ(t)=-
t2+2
2t
,则φ′(t)=
1
2
(
2
t2
-1)

t∈[
3
2
15
4
]
,∴φ′(t)=
1
2
(
2
t2
-1)<0
,故φ(t)=-
t2+2
2t
t∈[
3
2
15
4
]
上单调递减,
φ(t)max=φ(
3
2
)=-
17
12
,∴m≥-
17
12
为m的取值范围.
(3)由(1)得p(p(t))=[p(t)]2+2mp(t)+m2-m+1,
若p(p(t))=0无实根,即[p(t)]2+2mp(t)+m2-m+1①无实根,
方程①的判别式△=4m2-4(m2-m+1)=4(m-1).
1°当方程①的判别式△<0,即m<1时,方程①无实根.
2°当方程①的判别式△≥0,即m≥1时,
方程①有两个实根p(t)=t2+2mt+m2-m+1=-m±


m-1

t2+2mt+m2+1±


m-1
=0
②,
只要方程②无实根,故其判别式2=4m2-4(m2+1±


m-1
)<0

即得-1-


m-1
<0
③,且-1+


m-1
<0
④,
∵m≥1,③恒成立,由④解得m<2,∴③④同时成立得1≤m<2.
综上,m的取值范围为m<2.
核心考点
试题【已知函数f(x)=2x+1定义在R上.(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)+】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=


3
x
a
+


3
(a-1)
x
(a≠0且a≠1).
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,


6
)
上单调递减,在(


6
,+∞)
上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)(理)记(2)中的函数的图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
(文) 记(2)中的函数的图象为曲线C,试问曲线C是否为中心对称图形?若是,请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是,请说明理由.
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(1)已知函数f(x)的周期为4,且等式f(2+x)=f(2-x)对一切x∈R恒成立,求证f(x)为偶函数;
(2)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x∈[4,6]时,f(x)=2x+1,求f(x)在区间[-2,0]上的表达式.
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已知函数f(x)=2sin2(
π
4
+x)-


3
cos2x

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若不等式f(x)-m<2在x∈[
π
4
π
2
]
上恒成立,求实数m的取值范围.
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设f(x)=
2x2
x+1
,g(x)=asin
πx
2
+5-2a(a>0),若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,则a的取值范围是______.
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对于函数f(x)=a-
2
2x+1
(a∈R)

(1)用函数单调性的定义证明f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?
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