已知函数f（x）=2x+1定义在R上．
（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m2-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（2）若p（t）≥m2-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；
（3）若方程p（p（t））=0无实根，求m的取值范围． |
（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①②解得g(x)=，h(x)=．
∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵g(-x)==g(x)，h(-x)==-h(x)．
∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，∵f（x）=2x+1，
∴g(x)===2x+，h(x)===2x-．
由2x-=t，则t∈R，
平方得t2=(2x-)2=22x+-2，∴g(2x)=22x+=t2+2，
∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1．
（2）∵t=h（x）关于x∈[1，2]单调递增，∴≤t≤．
∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于t∈[，]恒成立，
∴m≥-对于t∈[，]恒成立，
令φ(t)=-，则φ′(t)=(-1)，
∵t∈[，]，∴φ′(t)=(-1)＜0，故φ(t)=-在t∈[，]上单调递减，
∴φ(t)max=φ()=-，∴m≥-为m的取值范围．
（3）由（1）得p（p（t））=[p（t）]2+2mp（t）+m2-m+1，
若p（p（t））=0无实根，即[p（t）]2+2mp（t）+m2-m+1①无实根，
方程①的判别式△=4m2-4（m2-m+1）=4（m-1）．
1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．
2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，
方程①有两个实根p(t)=t2+2mt+m2-m+1=-m±，
即t2+2mt+m2+1±=0②，
只要方程②无实根，故其判别式△2=4m2-4(m2+1±)＜0，
即得-1-＜0③，且-1+＜0④，
∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．
综上，m的取值范围为m＜2． |
核心考点
试题【已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+】；主要考察你对
函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。
[详细]举一反三
已知函数f(x)=+（a≠0且a≠1）．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）（理）记（2）中的函数的图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
（文） 记（2）中的函数的图象为曲线C，试问曲线C是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由． |
（1）已知函数f（x）的周期为4，且等式f（2+x）=f（2-x）对一切x∈R恒成立，求证f（x）为偶函数；
（2）设奇函数f（x）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈[4，6]时，f（x）=2x+1，求f（x）在区间[-2，0]上的表达式． |
已知函数f(x)=2sin2(+x)-cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若不等式f（x）-m＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围． |
| 设f（x）=，g（x）=asin+5-2a（a＞0），若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是______． |
对于函数f(x)=a-(a∈R)．
（1）用函数单调性的定义证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？ |
