题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
x2+x+a |
x |
(Ⅰ)当a<0时,证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
答案
x2+x+a |
x |
a |
x |
设任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,…(1分)
f(x1)-f(x2)=
x | 1 |
a |
x1 |
x | 2 |
a |
x2 |
a |
x1x2 |
∵0<x1<x2,a<0,
∴x1-x2<0 , 1-
a |
x1x2 |
a |
x1x2 |
即f(x1)<f(x2)…(6分)
所以,函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,…(7分)
(Ⅱ)解法1:当a≥0,x∈[1,+∞)时,函数f(x)>0,…(9分)
当a<0时,由(Ⅰ)知:函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,…(10分)
故当x=1时,f(x)min=2+a,…(12分)
于是当且仅当f(x)min=2+a>0,函数f(x)>0恒成立,故-2<a<0.
综上所述,所求实数a的取值范围是(-2,+∞)…(14分)
解法2::f(x)=
x2+x+a |
x |
设y=x2+x+a,x∈[1,+∞)
∵y=x2+x+a=(x+
1 |
2 |
1 |
4 |
∴当x=1时,f(x)min=2+a,…(12分)
于是当且仅当f(x)min=2+a>0,函数f(x)>0恒成立,故a>-2.
所以,所求实数a的取值范围是(-2,+∞).…(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+x+ax(x≠0,a∈R)(Ⅰ)当a<0时,证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数f(x)-g(x)定义域;
(2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明;
(3)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.
A.1 | B.3 | C.5 | D.不能确定 |
1 |
3 |
(1)若函数f(x)在x=1处有极值-
4 |
3 |
(2)在(1)的条件下,曲线y=f(x)+m与x轴仅有一个交点,求实数m的取值范围;
(3)记g(x)=|f′( x)|(-1≤x≤1)的最大值为M,若M≥k对任意的b、c恒成立,试求k的取值范围.
(参考公式:x3-3bx2+4b3=(x+b)(x-2b)2)
1 |
1-x |
A.单调增函数,且f(x)<0 | B.单调减函数,且f(x)>0 |
C.单调增函数,且f(x)>0 | D.单调减函数,且f(x)<0 |
ax+1 |
ax-1 |
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