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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
x2+x+a
x
(x≠0,a∈R)

(Ⅰ)当a<0时,证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ)f(x)=
x2+x+a
x
=x+
a
x
+1(x≠0)

设任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,…(1分)
f(x1)-f(x2)=
x 1
+
a
x1
-
x 2
-
a
x2
=(x1-x2)(1-
a
x1x2
)
…(4分)
∵0<x1<x2,a<0,
x1-x2<0 , 1-
a
x1x2
>0 , (x1-x2)(1-
a
x1x2
)<0

即f(x1)<f(x2)…(6分)
所以,函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,…(7分)
(Ⅱ)解法1:当a≥0,x∈[1,+∞)时,函数f(x)>0,…(9分)
当a<0时,由(Ⅰ)知:函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,…(10分)
故当x=1时,f(x)min=2+a,…(12分)
于是当且仅当f(x)min=2+a>0,函数f(x)>0恒成立,故-2<a<0.
综上所述,所求实数a的取值范围是(-2,+∞)…(14分)
解法2::f(x)=
x2+x+a
x
>0
,x∈[1,+∞)恒成立,⇔x2+x+a>0,x∈[1,+∞)恒成立.…(9分)
设y=x2+x+a,x∈[1,+∞)
y=x2+x+a=(x+
1
2
)2+a-
1
4
,在区间[1,+∞)上是增函数,…(10分)
∴当x=1时,f(x)min=2+a,…(12分)
于是当且仅当f(x)min=2+a>0,函数f(x)>0恒成立,故a>-2.
所以,所求实数a的取值范围是(-2,+∞).…(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+x+ax(x≠0,a∈R)(Ⅰ)当a<0时,证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=loga(3+2x),g(x)=loga(3-2x),(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)-g(x)定义域;
(2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明;
(3)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=ax3+bx+2,且f(-5)=3,则f(5)的值为(  )
A.1B.3C.5D.不能确定
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=-
1
3
x3+bx2+cx+bc,
(1)若函数f(x)在x=1处有极值-
4
3
,试确定b、c的值;
(2)在(1)的条件下,曲线y=f(x)+m与x轴仅有一个交点,求实数m的取值范围;
(3)记g(x)=|f′(  x)|(-1≤x≤1)的最大值为M,若M≥k对任意的b、c恒成立,试求k的取值范围.
(参考公式:x3-3bx2+4b3=(x+b)(x-2b)2
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知y=f(x)是奇函数,且满足f(x+1)=f(x-1),当x∈(0,1)时,f(x)=log2
1
1-x
,则y=f(x)在(1,2)内是(  )
A.单调增函数,且f(x)<0B.单调减函数,且f(x)>0
C.单调增函数,且f(x)>0D.单调减函数,且f(x)<0
题型:单选题难度:简单| 查看答案
f(x)=
ax+1
ax-1
x3
为______函数.(奇偶性)
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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