题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，
（1）若函数f（x）在x=1处有极值-

4

3

，试确定b、c的值；
（2）在（1）的条件下，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围；
（3）记g（x）=|f′（  x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．
（参考公式：x³-3bx²+4b³=（x+b）（x-2b）²）

答案

（1）解

f(1)=- 4 3 f/(1)=0

得

b=1 c=-1

或

b=-1 c=3

．…（2分）
若

b=1 c=-1

，f(x)=-

1

3

x3+x2-x-1，f"（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0f（x）在R上单调递减，在x=1处无极值；
若

b=-1 c=3

，f(x)=-

1

3

x3-x2+3x-3，f"（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），
直接讨论知，f（x）在x=1处有极大值，所以

b=-1 c=3

为所求．…（4分）
（2）由（1）y=f(x)+m=-

1

3

x3-x2+3x-3+m，y极小值=m-12，y极大值=m-

4

3

，…（6分）
当y_极小值=m-12＞0，或y极大值=m-

4

3

＜0，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点．…（8分）
因此，实数m的取值范围是m＞12或m＜

4

3

．…（9分）
（3）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．若|b|＞1，
则f"（x）在[-1，1]是单调函数，M=max{|f"（-1）|，|f"（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，因为f"（1）与f"（-1）之差的绝对值|f"（1）-f"（-1）|=|4b|＞4，所以M＞2．…（11分）
若|b|≤1，f"（x）在x=b∈[-1，1]取极值，
则M=max{|f"（-1）|，|f"（1）|，|f"（b）|}，f"（b）-f"（±1）=（b∓1）²．
若-1≤b＜0，f"（1）≤f"（-1）≤f"（b），M=max{|f′(1)|，|f′(b)|}≥

1

2

|f′(1)-f′(b)|=

1

2

(b-1)2＞

1

2

；
若0≤b≤1，f"（-1）≤f"（1）≤f"（b），M=max{|f"（-1）|，|f"（b）|}≥

1

2

|f′(-1)-f′(b)|=

1

2

(b+1)2≥

1

2

．
当b=0，c=

1

2

时，g(x)=|f′(x)|=|-x2+

1

2

|在[-1，1]上的最大值M=

1

2

．…（13分）
所以，k的取值范围是(-∞，

1

2

]．…（14分）