题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax³+bx²+x为奇函数，且f（1）-f（-1）=4．
（1）求实数a，b的值；
（2）若对于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c²-9c恒成立，求实数c的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=ax³+bx²+x为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立
即：-ax³+bx²-x=-ax³-bx²-x⇒2bx²=0任意x∈R恒成立
∴b=0，可得f（x）=ax³+x
∵f（1）-f（-1）=4
∴a+1-（-a-1）=4⇒a=1
综上所述，得a=1，b=0
（2）由（1）得f（x）=x³+x，
求导数得f′（x）=3x²+1＞0对任意x∈R恒成立
∴f（x）是R上的增函数．当x∈[0，2]时，f（x）的最大值为f（2）=10
∵对于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c²-9c恒成立
∴10＜c²-9c⇒c²-9c-10＞0⇒c＜-1或c＞10
综上所述，得实数c的取值范围为c∈（-∞，-1）∪（10，+∞）．