题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求f(x)在[-1,0)上的解析式;
(2)判断f(x)在(-2,-1)上的单调性,并给予证明.
答案
所以f(-1)=f(-1+2)=f(1),且f(-1)=-f(1),于是f(-1)=0.…(2分)
当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),f(x)=-f(-x)=-(2-x+2x)=-2x-2-x.…(5分)
所以f(x)在[-1,0)上的解析式为f(x)=
|
(2)f(x)在(-2,-1)上是单调增函数.…(9分)
先讨论f(x)在(0,1)上的单调性.
[方法1]设0<x1<x2<1,
则f(x1)-f(x2)=2x1+2-x1-2x2+2-x2=(2x1-2x2)(1-
1 |
2x1+x2 |
因为0<x1<x2<1,所以2x1<2x2, 2x1+x2>1,于是2x1-2x2<0, 1-
1 |
2x1+x2 |
从而f(x1)-f(x2)<0,所以f(x)在(0,1)上是单调增函数.…(12分)
因为f(x)的周期为2,所以f(x)在(-2,-1)上亦为单调增函数.…(14分)
[方法2]当x∈(0,1)时,f"(x)=(2x-2-x)ln2.
因为ln2>0,2x-2-x>0,所以f"(x)=(2x-2-x)ln2>0,
所以f(x)在(0,1)上是单调增函数.…(12分)
因为f(x)的周期为2,所以f(x)在(-2,-1)上亦为单调增函数.…(14分)
[注]第(2)小题亦可利用周期性求出f(x)=2x+2+2-x-2(-2<x<-1),再利用定义或导数确定单调性.
核心考点
试题【定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=2x+2-x.(1)求f(x)在[-1,0)上的解析式;(2)判断f(x)在(-2,-】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2012f(x) |
A.
| B.
| C.[
| D.0<m<2 |
(1)求an,bn;
(2)设cn=an•bn2,求数列{cn}的前n项和Sn;
(3)设{an}的前n项和为Tn,是否存在常数P、c,使an=p+log2(Tn+c)恒成立?若存在,求P、c的值;若不存在,说明理由.
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
1 |
2 |
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