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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
ex+1
ex-1

(Ⅰ)求f(x)的反函数f-1(x);
(Ⅱ)讨论f(x)的奇偶性.
答案
(Ⅰ)由y=
ex+1
ex-1
,得yex-y=ex+1,
从而yex-ex=y+1,(y-1)ex=y+1,∴ex=
y+1
y-1

ex=
y+1
y-1
>0
,得y<-1,或y>1.
再由ex=
y+1
y-1
,得x=ln
y+1
y-1
(y<-1,或y>1)

f-1(x)=ln
x+1
x-1
(x<-1或x>1).
(Ⅱ)f(x)=
ex+1
ex-1
中,∵ex-1≠0,∴x≠0.∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0},它关于原点对称.
f(-x)=
e-x+1
e-x-1
=
(e-x+1)•ex
(e-x-1)•ex
=
1+ex
1-ex
=-
ex+1
ex-1
=-f(x)

∴函数f(x)是奇函数.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex+1ex-1.(Ⅰ)求f(x)的反函数f-1(x);(Ⅱ)讨论f(x)的奇偶性.】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=
ax2+x+a
ex

(Ⅰ)函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值;
(Ⅱ)当x∈[0,2]时,f(x)≥
1
e2
恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=1+tanx,若f(a)=3,则f(-a)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定义两种运算a⊕b=ab,a⊗b=a+b,则函数f(x)=x⊗2-2⊕x是(  )
A.非奇非偶函数且在(-∞,+∞)上是减函数
B.非奇非偶函数且在(-∞,+∞)上是增函数
C.偶函数且在(-∞,+∞)上是增函数
D.奇函数且在(-∞,+∞)上是减函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知定义在I上的函数f(x)的导函数为f"(x),满足0<f"(x)<2且f"(x)≠1,常数C1是方程f(x)-x=0的实根,常数C2是方程f(x)-2x=0的实根.
(1)若对任意[a,b]⊆I,存在xo∈(a,b)使等式
f(b)-f(a)
b-a
=f′(x0)
成立.证明:方程f(x)-x=0有且只有一个实根;
(2)求证:当x>c2时,总有f(x)<2x;
(3)若|x1-c1|<1,|x2-c1|<1,求证:|f(x1)-f(x2)|<4.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
在实数集上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是(  )
A.(-1,1)B.(0,2)C.(-
1
2
3
2
)
D.(-
3
2
1
2
)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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