已知f（x）=ax3+3x2-x+1，a∈R．（Ⅰ）当a=-3时，求证：f（x）=在R上是减函数；（Ⅱ）如果对∀x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求实数a的取 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：东莞二模

已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（Ⅰ）当a=-3时，求证：f（x）=在R上是减函数；
（Ⅱ）如果对∀x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）当a=-3时，f（x）=-3x³+3x²-x+1，
∵f′（x）=-9x²+6x-1=-（3x-1）²≤0，
∴f（x）在R上是减函数；
（Ⅱ）∵∀x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，
即∀x∈R不等式3ax²+6x-1≤4x恒成立，
∴∀x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
当a≥0时，∀x∈R，3ax²+2x-1≤0不恒成立，
当a＜0时，∀x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
即△=4+12a≤0，
∴a≤-

．

核心考点

试题【已知f（x）=ax3+3x2-x+1，a∈R．（Ⅰ）当a=-3时，求证：f（x）=在R上是减函数；（Ⅱ）如果对∀x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求实数a的取】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f(x)=loga

2m-1-mx

x+1

(a＞0，a≠1)是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．
（1）求实数m的值，并写出区间D；
（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；
（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．

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已知函数f（x）的值域[0，4]（x∈[-2，2]），函数g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，∀x₁∈[-2，2]，总∃x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则实数a的取值范围是______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=lnx-x+1（x＞0）
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若a＞1，函数g（x）=x²-3ax+2a²-5，若对∀x₀∈（0，1），总∃x₁∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

若函数f(x)=

eax+1x＜0

b+sin2xx≥0

在R上可导，则ab=（　　）

A．2

B．4

C．-2

D．-4

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知定义在R上的偶函数f（x）满足∀x₁，x₂∈[0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则f(-2)，f(1)，f(

)的大小关系是______．

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