题目
题型:解答题难度:一般来源:东莞一模
a |
x |
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅲ)设函数h(x)=x2-mx+4,当a=2时,若∃x1∈(0,1),∀x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.
答案
x+a |
x2 |
①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)在(x,+∞)上单调递增;
②当a<0时,由f′(x)>0,得x>-a;由f′(x)<0,得x<-a;
故f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)g(x)=ax-
a |
x |
g′(x)=a+
a |
x2 |
5 |
x |
ax2-5x+a |
x2 |
因为g(x)在其定义域内为增函数,所以∀x∈(0,+∞),g′(x)≥0,
∴ax2-5x+a≥0,
∴a(x2+1)≥5x,
即a≥
5x |
x2+1 |
∴a≥[
5x |
x2+1 |
∵
5x |
x2+1 |
5 | ||
x+
|
5 |
2 |
所以a≥
5 |
2 |
(Ⅲ)当a=2时,g(x)=2x-
2 |
x |
2x2-5x+2 |
x2 |
由g′(x)=0,得x=
1 |
2 |
当x∈(0,
1 |
2 |
1 |
2 |
所以在(0,1)上,g(x)max=g(
1 |
2 |
而“∃x1∈(0,1),∀x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立”等价于
“g(x)在(0,1)上的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值”
而h(x)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)},
所以有
|
∴
|
∴
|
解得m≥8-5ln2,
所以实数m的取值范围是[8-5ln2,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx-ax,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中a∈R.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
b-2x |
1+2x |
(1)求b的值;
(2)试讨论函数f(x)的单调性;
(3)若对∀t∈R,不等式f(t-t2)+f(t-k)>0恒成立,求k的取值范围.
A.f(x)-f(-x)=0 | B.f(x)+f(-x)=0 | C.f(x)•f(-x)=0 | D.f(0)≠0 |
(I)当a>1时,解关于x的不等式f(x)≤0;
(II)若∀x∈(5,7),不等式f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.
A.3 | B.-3 | C.-1 | D.1 |
2 |
x |
(1)若对于∀x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立,试求a的取值范围;
(2)记g(x)=f(x)+x-b(b∈R).当a=1时,函数g(x)在区间[e-1,e]上恰有两个零点,求实数b的取值范围.
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