题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx．
（1）记h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的单调增区间；
（2）若∀x∈[1，+∞），方程f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围．

答案

（1）因为函数g（x）的定义域为（0，+∞），所以h（x）的定义域为（0，+∞）
所以h(x)=

x2-x+lnx+m，x≥1 -x2+x+lnx+m，0＜x＜1.

从而得：h′(x)=

2x2-x+1 x ，x≥1 -2x2+x+1 x ，0＜x＜1.

①当x≥1时，由h"（x）＞0得

2x2-x+1

x

＞0，即2x²-x+1＞0，其判别式△＞0恒成立，
故区间[1，+∞）是函数h（x）的单调增区间；
②当0＜x＜1时，由h"（x）＞0得

-2x2+x+1

x

＞0得

112x2-x-1＜0 120＜x＜113

即0＜x＜1，
故区间（0，1）也是函数h（x）的单调增区间．
综上所述，函数h（x）的单调增区间是（0，+∞）．
（2）由题意得：x（x-1）+m＞lnx，∀x∈[1，+∞）恒成立，
即m＞-x（x-1）+lnx，∀x∈[1，+∞）恒成立，
设F（x）=-x²+x+lnx，x∈[1，+∞），则
F′(x)=-2x+1+

1

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

，
显然，当x∈[1，+∞）时，F（x）≤0恒成立，
所以，F（x）在区间[1，+∞）上是单调减函数，
所以[F（x）]_max=F（1）=0，
所以m的取值范围是（0，+∞）．