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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=x|x-1|+m(m∈R),g(x)=lnx.
(1)记h(x)=f(x)+g(x),求函数h(x)的单调增区间;
(2)若∀x∈[1,+∞),方程f(x)>g(x)恒成立,求m的取值范围.
答案
(1)因为函数g(x)的定义域为(0,+∞),所以h(x)的定义域为(0,+∞)
所以h(x)=





x2-x+lnx+m,x≥1
-x2+x+lnx+m,0<x<1.

从而得:h′(x)=





2x2-x+1
x
,x≥1
-2x2+x+1
x
,0<x<1.

①当x≥1时,由h"(x)>0得
2x2-x+1
x
>0
,即2x2-x+1>0,其判别式△>0恒成立,
故区间[1,+∞)是函数h(x)的单调增区间;
②当0<x<1时,由h"(x)>0得
-2x2+x+1
x
>0





112x2-x-1<0
120<x<113
即0<x<1,
故区间(0,1)也是函数h(x)的单调增区间.
综上所述,函数h(x)的单调增区间是(0,+∞).
(2)由题意得:x(x-1)+m>lnx,∀x∈[1,+∞)恒成立,
即m>-x(x-1)+lnx,∀x∈[1,+∞)恒成立,
设F(x)=-x2+x+lnx,x∈[1,+∞),则
F′(x)=-2x+1+
1
x
=-
(x-1)(2x+1)
x

显然,当x∈[1,+∞)时,F(x)≤0恒成立,
所以,F(x)在区间[1,+∞)上是单调减函数,
所以[F(x)]max=F(1)=0,
所以m的取值范围是(0,+∞).
核心考点
试题【设函数f(x)=x|x-1|+m(m∈R),g(x)=lnx.(1)记h(x)=f(x)+g(x),求函数h(x)的单调增区间;(2)若∀x∈[1,+∞),方程】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
设a∈R,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是f"(x),若f"(x)是偶函数,则a=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数,则下列结论一定成立的是(  )
A.∀x∈R,f(x)>f(-x)B.∃x0∈R,f(x0)>f(-x0
C.∀x∈R,f(x)f(-x)≥0D.∃x0∈R,f(x0)f(-x0)<0
题型:单选题难度:简单| 查看答案
对于定义在D上的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上值域为[a,b],则函数y=f(x)(x∈D)称为闭函数.按照上述定义,若函数y=
2
x
为闭函数,则符合条件②的区间[a,b]可以是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(1+x)是定义域为R的偶函数,f(2)=
1
2
,f′(x)是f(x)的导函数,若∀x∈R,f′(x)<ex,则不等式f(x)<ex-
1
2
(e=2.718…)的解集为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-
1
2

(1)求证:f(x)在R上是减函数;
(2)求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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