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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
设a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.
(1)若函数f(x)是偶函数,求实数a的值;
(2)求函数f(x)的最小值.
答案
(1)∵函数f(x)为偶函数,∴对任意的x∈R都有f(-x)=f(x),
即(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x-a|+1,对任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|,
也就是(x+a)2=(x-a)2对任意的x∈R成立,故4ax=0恒成立,可得a=0.
(2)①当x≤a时,f(x)=x2-x+(1+a)=(x-
1
2
)2+(
3
4
+a)

a≤
1
2
,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减.
所以函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.
a>
1
2
,则函数f(x)在(-∞,
1
2
]
上单调递减,在(
1
2
,a]
上单调递增.
所以函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(
1
2
)=
3
4
+a

②当x>a时,f(x)=x2+x+(1-a)=(x+
1
2
)2+(
3
4
-a)

a≤-
1
2
,则函数f(x)在[a,-
1
2
]
上单调递减,在(-
1
2
,+∞)
单调递增.
所以函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(-
1
2
)=
3
4
-a

a>-
1
2
,则函数f(x)在[a,+∞)单调递增.
所以函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上所述,可得
a≤-
1
2
时,函数f(x)的最小值是
3
4
-a
;当-
1
2
<a≤
1
2
时,函数f(x)的最小值是a2+1;
a>
1
2
时,函数f(x)的最小值是
3
4
+a
核心考点
试题【设a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.(1)若函数f(x)是偶函数,求实数a的值;(2)求函数f(x)的最小值.】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
f(x)=ax3+bx2+cx+d,定义y=f″(x)是函数y=f′(x)的导函数.若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心.根据这一发现,对于函数g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x+
1
12
,则g(
1
2012
)+g(
2
2012
)+g(
3
2012
)+…+g(
2011
2012
)的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定义在R上的函数f(x)为奇函数,且f(x-3)为偶函数.记f(2009)=a,若f(7)>1,则一定有(  )
A.a<-2B.a>2C.a<-1D.a>1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)定义域是{x|x
k
2
,k∈Z,x∈R
},且f(x)+f(2-x)=0,f(x+1)=-
1
f(x)
,当
1
2
<x<1
时:f(x)=3x
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)求f(x)在(0,
1
2
)上的表达式;
(3)是否存在正整,使得x∈(2k+
1
2
,2k+1)时,log3f(x)>x2-kx-2k有解,并说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义:已知函数f(x)在[m,n](m<n)上的最小值为t,若t≤m恒成立,则称函数f(x)在[m,n](m<n)上具有“DK”性质.已知f(x)=ax2-|x|+2a-1
(1)若a=1,判断函数f(x)在[1,2]上是否具有“DK”性质,说明理由.
(2)若f(x)在[1,2]上具有“DK”性质,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
f(x)=tanx+sinx+1,若f(b)=2,则f(-b)=(  )
A.0B.3C.-1D.-2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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