题目

题型：解答题难度：一般来源：唐山一模

已知函数f（x）=（x²-ax+1）e^x，（a≥0）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[0，1]，f（x）≥1恒成立，求a取值范围．

答案

（1）f"（x）=[x²+（2-a）x+（1-a）]e^x=（x+1）（x+1-a）e^x
①当a=0时，f"（x）=（x+1）²e^x，所以f"（x）=（x+1）²e^x≥0对于任意x∈R成立，所以f（x）在x∈R单调增函数；
②当a＞0时，由f"（x）=0解得x₁=-1或x₂=a-1，且x₁＜x₂，
知f（x）在（-∞，-1）和（a-1，+∞）上增函数；
知f（x）在（-1，a-1）上减函数．
（2）①当a=0时，f（x）在R上增函数，f（x）≥f（0）=1恒成立．
②当a＞1时，f（x）在[0，a-1]上减函数，f（x）≤f（0）=1，不恒成立．
③当0＜a≤1时，f（x）[0，1]上增函数，f（x）≥f（0）=1恒成立．
综上所述：0≤a≤1．