题目
题型:解答题难度:一般来源:安徽
(Ⅰ)令F(x)=xf"(x),讨论F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值;
(Ⅱ)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2a ln x+1.
答案
2lnx |
x |
2a |
x |
故F(x)=xf"(x)=x-2lnx+2a,x>0,
于是F′(x)=1-
2 |
x |
x-2 |
x |
∴知F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,
所以,在x=2处取得极小值F(2)=2-2ln2+2a.
(Ⅱ)证明:由a≥0知,F(x)的极小值F(2)=2-2ln2+2a>0.
于是知,对一切x∈(0,+∞),恒有F(x)=xf"(x)>0.
从而当x>0时,恒有f"(x)>0,故f(x)在(0,+∞)内单调增加.
所以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即x-1-ln2x+2alnx>0.
故当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1.
核心考点
试题【设a≥0,f (x)=x-1-ln2x+2a ln x(x>0).(Ⅰ)令F(x)=xf"(x),讨论F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值;(Ⅱ)求证:当x】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
2x |
2x+1 |
(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并证明之.
6 |
5 |
3 |
2 |
5 |
2 |
2a2 |
x2 |
(Ⅰ)若设F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若函数H(x)=f(x)+
2g(x) |
(Ⅲ)是否存在实数m,使得函数p(x)=
1 |
3 |
2 |
3 |
3 |
2 |
ax2+1 |
bx+c |
(1)求a,b,c的值;
(2)当x<0,f(x)的单调性如何?用单调性定义证明你的结论;
(3)当x>0时,求函数f(x)的最小值.
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