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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
【解析图片】设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x2-3x+3恒成立.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若关于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空,求实数n的取值的集合A.
(3)若关于x的方程f(x)=nx-1的两根为x1,x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|对任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
答案
(1)由x-1=x2-3x+3可得x=2,
故由题可知1≤f(2)≤1,
从而f(2)=1.
因此





a-b+c=0
4a+2b+c=1

故b=
1
3
-a,c=
1
3
-2a.由x-1≤f(x)
得ax2-(
2
3
+a)x+
4
3
-2a≥0对x∈R恒成立,
故△=(
2
3
+a)2-4a(
4
3
-2a)≤0,
即9a2-4a+
4
9
≤0,
解得a=
2
9

故f(x)=
2
9
x2+
x
9
-
1
9

(2)由
2
9
x2+
x
9
-
1
9
≤nx-1
得2x2+(1-9n)x+8≤0,
故△=(1-9n)2-64≥0,
解得n≤-
7
9
或n≥1,从而A=(-∞,-]
7
9
∪[1,+∞)
(3)显然|x1-x2|≥0,当且仅当n=-
7
9
或n=1时取得等号,
故m2+tm+1≤0对t∈[-3,3]恒成立.记g(t)=m•t+(m2+1),
则有





g(-3)=m2-3m+1≤0
g(3)=m2+3m+1≤0






3-


5
2
≤m≤
3+


5
2
-3-


5
2
≤ m≤
-3+


5
2

故m∈∅,不存在这样的实数m
核心考点
试题【【解析图片】设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x2-3x+3恒成立.(1)求f(x】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数f(x)=x2sinx+2,若f(a)=15,则f(-a)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-
1
f(x)
,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=(  )
A.10B.
1
10
C.-10D.-
1
10
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定义在R上的函数f(x)=
x+b
ax2+1
(a,b∈R且a≠0)是奇函数,当x=1时,f(x)取得最大值.
(1)求a、b的值;
(2)设曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线l与y轴的交点为(0,t),求实数t的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+3)=-f(x),当-3≤x≤0时,f(x)=2x+3,则f(2012.1)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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