题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
a |
x |
(1)证明函数f(x)是奇函数;
(2)若a=1,求证函数在区间[1,+∞)上单调递增;
(3)若函数在区间[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
答案
a |
-x |
a |
x |
(2)当a=1时,任取x1,x2∈[1,+∞),且1≤x1<x2,则f(x2)-f(x1)=(x2+
1 |
x2 |
1 |
x1 |
x1-x2 |
x1x2 |
(x2-x1)(x1x2-1) |
x1x2 |
∵x2-x1>0,x1x2>1,∴x1x2-1>0,∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
∴函数在区间[1,+∞)上是增函数;
(3)因为函数在区间[1,+∞)上是增函数,设1≤x1<x2,则x2-x1>0,x1x2>1,
所以f(x2)-f(x1)=(x2+
a |
x2 |
a |
x1 |
a(x1-x2) |
x1x2 |
(x2-x1)(x1x2-a) |
x1x2 |
∴x1x2-a>0,
∴a<x1x2,故a≤1,所以a的取值范围是:[1,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=x+ax,(1)证明函数f(x)是奇函数;(2)若a=1,求证函数在区间[1,+∞)上单调递增;(3)若函数在区间[1,+∞)上单调递增,求a】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
2x-1 |
x-1 |
(2)判断函数g(x)=x3+
1 |
x |
(1)证明f(x)是偶函数;
(2)指出函数f(x)的单调增区间;
(3)求函数的值域.
x-2 |
x+3 |
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