题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

a•2x+a-1

2x+1

．
（1）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（2）在（1）的条件下，解关于x的不等式f[log_a（x+1）]+f[log_a（

1

3x-5

）]＞0．

答案

（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即a-

1

2-x+1

=-a+

1

2x+1

，
则2a=

1

2x+1

+

1

2-x+1

=

1

2x+1

+

2x

2x+1

=1，
∴a=

1

2

．
∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

；
（2）f（x）定义域为（-∞，+∞），原函数即f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，易得f（x）为R上的增函数．
由f[log_a（x+1）]+f[log_a（

1

3x-5

）]＞0．
得f[log_a（x+1）]＞-f[log_a（

1

3x-5

）]=f[-log_a（

1

3x-5

）]=f（[log_a（3x-5）]，
∵f（x）为R上的增函数．
∴log_a（x+1）＞log_a（3x-5），
若a＞1，则

x+1＞3x-5 3x-5＞0

，解得

5

3

＜x＜3．
若0＜a＜1，则

x+1＜3x-5 x+1＞0

，解得x＞3．
综上：a＞1，不等式的解集为{x|

5

3

＜x＜3}．
当0＜a＜1，不等式的解集为{x|x＞3}．