题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知f(x)是定义在(-∞，+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x)都满足f(x·y)=y·f(x)+x·f(y)，
(1)求f(1)，f(-1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．

答案

解：(1)∵f(x)对任意x，y都有f(x·y)=y·f(x)+x·f(y)，
令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1) +1·f(1)，
∴f(1)=0，
令x=y=-1时，有f[(-1)·(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1)，
∴f(-1)=0．
(2)∵f(x)对任意x，y都有f(x·y)=y·f(x)+x·f(y)，
∴令x=t，y=-1，有f(-t)=-f(t)+t·f(-1)，
将f(-1)=0代入，得f(-t)=-f(t)，
∴函数f(x)在(-∞，+∞)上为奇函数。